解析几何最值问题的解法
上海市松江一中陆珲解析几何的最值问题是高中数学的难点和重点，也是数学竞赛和高考的常见题型。由于高中解析集合研究的都是二次曲线，所以通常情况下，解此类问题的方法和解函数中的求最值问题方法类似，常用下面几种方法：1、化为二次函数，求二次函数的最值；2、化为一元二次方程，利用△；3、利用不等式；4、利用函数的单调性和有界性；5、利用几何法。在解此类问题时，以上方法也可能会混合运用。同时，恰当利用解析几何中二次曲线定义和性质，或利用参数方程，或建立适当的坐标系，也可以简化问题，方便解题。例题1：如图已知P点在圆x2y421上移动，
Q点在椭圆
x2y21上移动，求PQ的最大值。9
分析：如图先让Q点在椭圆上固定，显然PQ通过圆心O1时PQ最大，因此要PQ的最大值，只要求O1Q的最大值。解：设Q点坐标xy，则O1Q2x2y42①，因Q点在椭圆上，故
x2y219
②
121y时，OQ1mi
27332
把②代入①得O1Q291y2y428y227
Q点在椭圆上移动，1y1
PQmi
331
说明：此解法就是典型的运用化为二次函数，通过求二次函数的最值来解决问
f题。但是在利用二次函数求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得的模式，首先要求出定义域，然后再看顶点是否在定义域内，若在，则可套用，若不在，则要按二次函数在其定义域内的单调性来判定。例题2：如图，定长为3的线段AB的两端在抛物线y2x上移动，且线段中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标。分析：点M到y轴的最短距离，即求点M横坐标的最小值。解法一：化为一元二次方程，利用△设Ax1y1Bx2y2Mxy则
x1x22xy1y22y2y1x12y2x2xx2yy291212
①②③④⑤
2③④代入⑤，整理得y1y22y1y219，即2y12y222y1y2y1y219
⑥⑦
由①③④得y12y22x1x22x
y1y222y1y22x
②代入上式得2y1y24y22x
⑧⑨
②⑦⑧代入⑥并整理得16y4416xy294x0
yR，△416x26494x0，即4x54x70
4x70x552，将x代入⑨得y44254
所以AB中点M到y轴的最短距离是，相应的点M的坐标为
5252或r