B，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PEPFCH．证明过程如下：
如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴
S△ABP

12
ABPE，
S△ACP

12
ACPF，
S△ABC

12
ABCH．
又∵S△ABPS△ACPS△ABC，
f初二数学优质课时训练、专题汇编（附详解）
∴1ABPE1ACPF1ABCH．∵ABAC，∴PEPFCH．
2
2
2
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为
PF，当PF3时，则AB边上的高CH______点P到AB边的距离PE________
【答案】7；4或10；
【解析】
解：（1）如图②，PEPFCH．证明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴
S△ABP

12
ABPE，S△ACP
12
ACPF，
S△ABC

12
ABCH，
∵S△ABPS△ACPS△ABC，
∴1ABPE1ACPF1ABCH，
2
2
2
又∵ABAC，
∴PEPFCH；
（2）∵在△ACH中，∠A30°，
∴AC2CH．
∵
S△ABC

12
ABCH，ABAC，
∴1×2CHCH49，2
∴CH7．
分两种情况：
①P为底边BC上一点，如图①．
∵PEPFCH，
∴PECHPF734；
②P为BC延长线上的点时，如图②．
∵PEPFCH，
∴PE3710．
故答案为7；4或10．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使
问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．
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举一反三：【变式】如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BDCE，连接DE交底BC于G．求证GDGE．
【答案】证明：过E作EF∥AB交BC延长线于F．
∵ABAC，∴∠B∠ACB，∵EF∥AB，∴∠F∠B，∵∠ACB∠FCE，∴∠F∠FCE，∴CEEF，∵BDCE，∴BDEF，在△DBG与△GEF中，
，∴△DGB≌△EGF（AAS），∴GDGE．类型三、等边三角形的综合应用
5、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°求ADB的度数．
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【答案与解析】
解：将△ABD沿AB翻折，得到△ABE，连结CE，则△ABD≌△ABE，∴BDBEADBAEB∠1＝∠5＝12°∴EBC12560°∵ABC348°∴ABAC．又∵∠2＝36°，BCD3472°，∴BDCBCDBDBC
∴BE＝BC
∴△BCE为等边三角形∴BECE又ABAC∴AE垂直平分BC．∴AE平分BEC．∴AEB1BEC30°
2
∴∠ADB＝30°
【总结升华】直接求ADB很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与△ABD全
等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求．举一反三：【变式】r