B,PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E、F、H.易证PEPFCH.证明过程如下:
如图①,连接AP.
∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,
∴
S△ABP
12
ABPE,
S△ACP
12
ACPF,
S△ABC
12
ABCH.
又∵S△ABPS△ACPS△ABC,
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∴1ABPE1ACPF1ABCH.∵ABAC,∴PEPFCH.
2
2
2
(1)如图②,P为BC延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并加以证明:
(2)填空:若∠A30°,△ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为
PF,当PF3时,则AB边上的高CH______点P到AB边的距离PE________
【答案】7;4或10;
【解析】
解:(1)如图②,PEPFCH.证明如下:
∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,
∴
S△ABP
12
ABPE,S△ACP
12
ACPF,
S△ABC
12
ABCH,
∵S△ABPS△ACPS△ABC,
∴1ABPE1ACPF1ABCH,
2
2
2
又∵ABAC,
∴PEPFCH;
(2)∵在△ACH中,∠A30°,
∴AC2CH.
∵
S△ABC
12
ABCH,ABAC,
∴1×2CHCH49,2
∴CH7.
分两种情况:
①P为底边BC上一点,如图①.
∵PEPFCH,
∴PECHPF734;
②P为BC延长线上的点时,如图②.
∵PEPFCH,
∴PE3710.
故答案为7;4或10.
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积,难度适中,运用面积证明可使
问题简便,(2)中分情况讨论是解题的关键.
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举一反三:【变式】如图,△ABC是等腰三角形,D,E分别是腰AB及AC延长线上的一点,且BDCE,连接DE交底BC于G.求证GDGE.
【答案】证明:过E作EF∥AB交BC延长线于F.
∵ABAC,∴∠B∠ACB,∵EF∥AB,∴∠F∠B,∵∠ACB∠FCE,∴∠F∠FCE,∴CEEF,∵BDCE,∴BDEF,在△DBG与△GEF中,
,∴△DGB≌△EGF(AAS),∴GDGE.类型三、等边三角形的综合应用
5、已知,如图,∠1=12°,∠2=36°,∠3=48°,∠4=24°求ADB的度数.
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【答案与解析】
解:将△ABD沿AB翻折,得到△ABE,连结CE,则△ABD≌△ABE,∴BDBEADBAEB∠1=∠5=12°∴EBC12560°∵ABC348°∴ABAC.又∵∠2=36°,BCD3472°,∴BDCBCDBDBC
∴BE=BC
∴△BCE为等边三角形∴BECE又ABAC∴AE垂直平分BC.∴AE平分BEC.∴AEB1BEC30°
2
∴∠ADB=30°
【总结升华】直接求ADB很难,那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与△ABD全
等的三角形,从而使其换个位置,看看会不会容易求.举一反三:【变式】r