的角为150°（2）设
（x，y，z）是平面EFB的单位法向量，即
1，
⊥平面EFB，∴
⊥EF，
x2y2z21
⊥BE又EF（－a，a，0），EB（0，a，－a），即有axay0得其中的一组ayaz0
x解yz33
3333aa，，），PE（，0，）∴
（333322
33
3a3
设所求距离为d，则dPE

（3）设e（x1，y1，z1）是两异面直线的公垂线上的单位方向向量，则由PM（－
a，2
f2x1y12z121a3aaaa0，），FQ（，－，－a），得x1z10求得其中的一个e（，－232222aax1y1az1022
3333，），而MF（0，a，0）设所求距离为m，则mMFe－aa3333【例4】如图，已知二面角αPQβ为60°，点A和点B分别在平面α和平面β内，点C在棱PQ上，∠ACP∠BCP30°，CACBa（1）求证：AB⊥PQ；（2）求点B到平面α的距离；（3）设R是线段CA上的一点，直线BR与平面α所成的角为45°，求线段CR的长度
BPEADR
C
Q
（1）证明：在平面β内作BD⊥PQ于D，连结AD∵∠ACP∠BCP30°，CACBa，CD公用，∴△ACD≌△BCD∴∠ADC∠BDC90°，即AD⊥PQ于是PQ⊥平面ABD，则AB⊥PQ（2）解：由（1）知，∠ADB是二面角αPQβ的平面角，∴∠ADB60°又PQ⊥平面ABD，∴α⊥平面ABD过B作BE⊥AD于点E，则BE即为B到平面α的距离
3a4（3）解：连结ER，∵BE⊥α，∴∠BRE是BR与α所成的角，即∠BRE45°，则有
BEBDsi
60°BCsi
30°si
60°BR
BE61a易知△ABD为正三角形，ABADBDa在△ABC中，由余弦定理得4si
452
cos∠BCA
78
67a5aa）2x2a2－2ax，求得x1，x24824
在△BCR中，设CRx，由余弦定理得（（舍去，∵CRACa），故CR
a2
●闯关训练夯实基础1平面α内的∠MON60°，PO是α的斜线，PO3，∠POM∠PON4５°，那么点P到平面α的距离是
33C4解析：cos∠POMcos∠POHcos∠MOH，
A
3
B
32
D
33
f∴
22
3cos∠POH2
P
NOHM
∴cos∠POH
23
13


∴si
∠POH
∴PHPOsi
∠POH3×
13
3
答案：A2正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，E是CC1的中点，则E到A1B的距离是
36aBaC32解析：连结A1E、BE，过E作EH⊥A1B于H，
A在△A1BE中易求EH
5a2
D
32a4
32a4
D1A1B1EDAHBCC1
答案：D3已知l1、l2是两条异面直线，α、β、γ是三个互相平行的平面，l1、l2分别交α、β、γ于A、B、C和D、E、F，AB4，BC12，DF10，又l1与α成30°角，则β与γ的距离是__________r