解：设平面ABC的法向量
（x，y，z），∵
AB0，
AC0，
xyz2210∴xyz4060
32x2yz0xz即24x6z0yz
f令z－2，则
（3，2，－2）∴cos〈
，AD〉
372727322222727272
∴点D到平面ABC的距离为d，dADcos〈
，AD〉

4917

491717
思考讨论
求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外，还可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量
的坐标，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量MP的坐标，那么P到平面的距离dMPcos〈
，MP〉【例2】如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、O、O1分别是A1B、AC、A1C1的中点，且OH⊥O1B，垂足为H
CBHMC1O1D1A1OAD
B1
（1）求证：MO∥平面BB1C1C；（2）分别求MO与OH的长；（3）MO与OH是否为异面直线A1B与AC的公垂线为什么求这两条异面直线间的距离（1）证明：连结B1C，∵MO是△AB1C的中位线，∴MO∥B1C∵B1C平面BB1C1C，∴MO∥平面BB1C1C（2）解：MO
21B1Ca，222a，2
∵OH是Rt△BOO1斜边上的高，BO∴OH
3a3（3）解：MO不是A1B与AC的公垂线，MO∥B1C，△AB1C为正三角形，∴MO与AC成60°角∵AC⊥BD，AC⊥OO1，∴AC⊥面BOO1∵OH面BOO1，∴OH⊥AC，OH⊥A1C1∵OH⊥O1B，A1C1∩O1BO1，∴OH⊥面BA1C1，OH⊥A1B∴OH是异面直线A1B与AC的公垂线，其长度即为这两条异面直线的距离特别提示
在立体几何的计算或证明中，常需要计算直角三角形斜边上的高，据面积关系得它等于直角边的积除以斜边，应作为常识记熟并可直接应用立体几何问题求解，总体上可分为几何法与代数法，要注意选择最简方法求解本题（3）利用代数向量方法解答也比较简单【例3】如图所求，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点
fMEPDAQB
F
C
求：（1）PM与FQ所成的角；（2）P点到平面EFB的距离；（3）异面直线PM与FQ的距离解：建立空间直角坐标系，使得D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），则由中点坐标公式得P（Q（
aa，0，）、22
aa，，0）22
（1）∴PM（－
aaaaaaa，0，），FQ（，－，－a），PMFQ（－）×02222222263×（－a）－a2，且PMa，FQa2243a23PMFQ4∴cos〈PM，FQ〉－226PMFQaa22
故得两向量所成r