99
空间距离
●知识梳理1点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离2直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离3两个平面平行，它们的公垂线段的长度叫做这两个平面的距离4两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离5借助向量求距离（1）点面距离的向量公式平面α的法向量为
，点P是平面α外一点，点M为平面α内任意一点，则点P到平面α的距离d就是MP在向量
方向射影的绝对值，即d

MP

（2）线面、面面距离的向量公式平面α∥直线l，平面α的法向量为
，点M∈α、P∈l，平面α与直线l间的距离d就是MP在向量
方向射影的绝对值，即d

MP

平面α∥β，平面α的法向量为
，点M∈α、P∈β，平面α与平面β的距离d就是MP在向量
方向射影的绝对值，即d

MP

（3）异面直线的距离的向量公式设向量
与两异面直线a、b都垂直，M∈a、P∈b，则两异面直线a、b间的距离d就是MP在向量
方向射影的绝对值，即d

MP

●点击双基1ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角ABDC，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为
3D12解析：易证CE是异面直线AE与BC的公垂线段，其长为所求易证CE1∴选D答案：D2在△ABC中，AB15，∠BCA120°，若△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到α的距离是A13B11C9D7解析：作PO⊥α于点O，连结OA、OB、OC，∵PAPBPC，∴OAOBOC∴O是△ABC的外心
A2B3C
f∴OA
15AB532si
BCA2si
120
∴POPA2OA211为所求∴选B答案：B3在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是
63aBa36解析：A到面MBD的距离由等积变形可得
AVAMBDVBAMD易求d
C
3a4
D
6a6
6a6
D1A1MAB1C1
DB
C
答案：D4A、B是直线l上的两点，AB4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，ACBD3，又AC与BD成60°的角，则C、D两点间的距离是_______解析：CD32324232答案：5或435设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC90°，PB、PC分别与α成45°和30°角，PA2，则PA与BC的距离是_____________；点P到BC的距离是_____________解析：作AD⊥BC于点D，∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AD∴AD是PA与BC的公垂线易得AB2，AC23，BC4，AD3，连结PD，则PD⊥BC，P到BC的距离PD7答案：3
7
●典例剖析【例1】设A（2，3，1），B（4，1，2），C（6，3，７），D（－５，－4，8），求D到平面ABC的距离r