AD

12
VP

ABD

2．3
（Ⅲ）证明：因为AD平面PAB，PB平面PAB，
所以ADPB，
在等腰直角PAB中，AEPB，
又AEADA，AE平面EAD，AD平面EAD，
所以PB平面EAD，
又OFPB，
所以OF平面EAD，
又OF平面FAC，
所以平面EAD平面FAC．
19解：（Ⅰ）由AB4，得a2又因为ec1，所以c1，所以b2a2c23，
a2所以椭圆C的方程为x2y21．
43（Ⅱ）假设存在点P，使得四边形APQM为梯形
由题意知，显然AM，PQ不平行，所以APMQ，
f所以BQBM，所以BM1．
ABBP
BP2
设点Mx1y1，P4t，过点M作MHAB于H，则有BHBM1，
BQBP2
所以BH1，所以H10，所以x11，
代入椭圆方程，求得
y1


32
，
所以P43．
20解：（Ⅰ）fxex2xa，
由已知可得f00，所以1a0，得a1．
（Ⅱ）gxex2，令gx0，得xl
2，
所以x，gx，gx的变化情况如表所示：
x
l
2
gx

gx
l
20
极小值
所以gx的最小值为gl
2el
22l
2112l
2．
（Ⅲ）证明：显然gxfx，且g00，
由（Ⅱ）知，gx在l
2上单调递减，在l
2上单调递增．
又gl
20，g2e250，
由零点存在性定理，存在唯一实数x0l
2，满足gx00，即ex02x010，ex02x01，综上，gxfx存在两个零点，分别为0，x0．所以x0时，gx0，即fx0，fx在0上单调递增；
l
2
f0xx0时，gx0，即fx0，fx在0x0上单调递减；
xx0时，gx0，即fx0，fx在x0上单调递增，
所以f0是极大值，fx0是极小值，
f
x0

ex0

x02

x0

2x0
1
x02

x0

x02

x0
1
x0

122

54
，
因为
g1

e
3

0
，
g3

3
e2

4

0，
2
所以
x0
1
32
，所以
f
x0

0
，
因此x0时，fx0．
因为f01且fx在0上单调递增，
所以一定存在c0满足fc0，
所以存在c0，当xc时，fx0
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