高三文科数学大题小练5：数列及解析几何（教师版）
1已知各项均为正数的数列a
的前
项和满足S
1，6S
a
1a
2（1）求a1的值；（2）求数列a
的通项公式；（3）求证：
11a1a2a2a3

11a
a
16
【解析】（1）
6S
a
1a
2，
N
由6a16S1a11a12，解得a11或a12，∵a1S11，∴a12
11a
11a
12a
1a
2，66∴a
1a
3，或a
1a
，∵a
0，∴a
1a
3，
（2）∵a
1S
1S
∴a
是以2为首项，公差为3的等差数列，∴a
的通项为a
3
1．（3）
11111a
a
13
13
233
13
21a
a
1
11111111133
13
2323
2633
26

11a1a2a2a3
111111325358
从而，有
11a1a2a2a3

11a
a
16
22已知数列a
满足a12，a
1a
2a

（1）求证：数列lg1a
是等比数列，并求数列a
的通项公式（2）求证：1a11a2
1a
32


1
2【解析】（1）∵a
1a
2a
，a
11a
12，
两边取对数得lg1a
12lg1a
，∴
lg1a
12，lg1a

∴lg1a
是以lg1a1lg3为首项，以2为公比的等比数列，∴lg1a
2
1lg3lg32，∴1a
32，∴a
32
1
1
1
1
f（2）由（1），得数列lg1a
是等是以lg1a1lg3为首项，以2为公比的等比数，所以其前
项和为S

lg312
2
1lg312
而S
lg1a1lg1a2
lg1a
lg1a11a2

1a

lg1a11a2
1a
2
1lg3lg3211a
32

从而，有1a11a2
1
3已知A10，B10，直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为2（1）求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状（2）若F30，点M到直线lx
3的距离为d，问是否存在正常数，使3
MFd成立？若存在，求出这个常数；若不存在，求出这个常数
【解析】（1）设Mxy，则kAM
yy，kBM，其中x1x1x1
kAMkBM
2，
yyy22x1，即x21x1x1x12
2
所以点M的轨迹方程为x
y21x12
其轨迹是以30为焦点，实轴长为2的双曲线（除去A与B两点）（2r