将军饮马的六种常见模型
将军饮马问题线段和最短
一．六大模型1如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PAPB最小。
2如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PAPB最小。
3如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小
4如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。
5如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小
1
f6如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小
二、常见题目Part1、三角形1．如图，在等边△ABC中，AB6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE2，求EMEC的最小值
解：∵点C关于直线AD的对称点是点B，∴连接BE，交AD于点M，则MEMD最小，过点B作BH⊥AC于点H，则EHAHAE321，
2222BHBCCH6333
在直角△BHE中，BEBHEH
2
2
33127
22
2．如图，在锐角△ABC中，AB42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BMMN的最小值是____．解：作点B关于AD的对称点B，过点B作BE⊥AB于点E，交AD于点F，则线段BE长就是BM＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB中，根据勾股定理得到，BE4
2
f3．如图，△ABC中，AB2，∠BAC30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BMMN的值最小，则这个最小值解：作AB关于AC的对称线段AB，过点B作BN⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则BNMBMNMBMNBN的长就是MBMN的最小值，则∠BAN2∠BAC60°，ABAB2，∠ANB90°，∠B30°。∴AN1，在直角△ABN中，根据勾股定理BN3
Part2、正方形1．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。
即在直线AC上求一点N，使DNMN最小。解：故作点D关于AC的对称点B，连接BM，交AC于点N。则DN＋MN＝BN＋MN＝BM。线段BM的长就是DN＋MN的最小值。在直角△BCM中，CM＝6，BC＝8，则BM＝10。故DN＋ＭＮ的最小值是102．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）A．23B．26C．3D．6
解：即在AC上求一点P，使PEPD的值最小。
3
f点D关于直线AC的对称点是点B，连接BE交AC于点P，则BEPBPEPDPE，BE的长就是PDPE的最小值BEAB23
3．在边长为2的正方形ABCD中，点Q为Br