第一个问题：
浦丰投针方法计算圆周率平面上画有间隔为d（d0）的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为lld的针，求针与任一平行线相交的概率。解：以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以φ表示针与此直线间的交角，见图1。易知样本空间Ω满足0≤x≤d2，0≤φ≤∏由这两式可以确定xφ平面上的一个矩形Ω，这就是样本空间，其面积为SΩd∏2。这时为了针与平行线相交记为事件A，其充要条件是x≤
lsi
2
由这个不等式表示的区域是图2中的体阴影区域
图1蒲丰投针问题图2浦丰投针问题中的Ω和A由于针是向这个平面任意投掷的，所以由等可能性知这是一个几何概率问题。由此得
pA
SS
A


∏
0
lsi
d2l2dd∏∏2
如果l，d为已知，则以∏的值代入上式即可计算得pA之值。反之，如果已知pA的值，则也可以利用上式去求∏，而关于pA的值，可以从试验中获得的频率去近似它：即投针N次，其中针与平行线相交
次，则频率

可作为pA的估计值，于是由N
2l≈pANdπ2lNd

可得
π≈
这是一个颇为奇妙的方法：只要设计一个随机试验，使用过事件的概率与某个未知数有关，然后通过重复试验，以频率估计概率，即可求得未知数的近似解。一般来说，试验次数越多，则求得的近似解就越精确。随着电子计算机的出现，我们便可以利用计算机来大量地模拟所设计的随机试验。
f以下我们利用sas处理这一问题：下表是从网上搜集的一组数据：Mld080610075083054投针次数N50003204600103034082520相交次数K253212193834891801859
设针长为l，则求∏的近似式可化为：
π≈
在SAS程序编辑窗口输入如下程序：
datapufe
g
2MNK
i
putMNKM为ld的值，N为投针次数，K为相交次数pi2MNK求圆周率piwcabs314159pi计算所求结果与标准圆周率的误差cards08500025320632041219106003830751030489083340818010542520859ru
procpri
tru

运行之后得到如下结果：
我们还可以利用sas的i
teractivedataa
alysis画出以误差为纵坐标，以投针次数为横坐标的分析图如下：
f由此可见，概率论的方法有一定的随机性，在一定的范围之内，误差并非随着试验次数的增加而减小。但是，理论上，我们知道：随着试验次数的增加，误差可以达到任意小。
第二个问题：
用蒙特卡洛方法计算定积分：设0≤fx≤1，求fx在区间01上的积分值：
Jfxdx
0
1
设XY服从正方形0≤x≤10≤y≤1上的均匀分布，则可知X服从01上的均匀分布，Y也服从01上r