4
2、合理利用线材问题，现在要做100套钢架，每套用长为29m，21m，和
15m的钢各一根，已知原料长74m，问应如何下料，使用的原材料最
省；
解：首先我们必须要清楚该问题的需要设立的变量是什么。我们分析一下问题，做
100套钢架，需要29m长的钢100根，21m的钢100根，15m的钢100根。而
一份原料长度是74m，它的截取的方法有多少种，我们可以用表格列举出来：
下料根数
长度m
29
截取方案
1
2
3
1
1
2
21
4
5
1
2
1
3
2
2
15
3
所用长度
74
71
73
66
72
剩余长度
0
03
01
08
02
求解的问题是关于如何去进行下料，使得原材料最省，也就是说如何搭配使用这些
方案，使得剩余的总长度最少。由此，我们可以将目标函数和约束条件表述出来：
目标函数：mi
z032013084025
1223100
22425100
约束条件332100
1
3
4
5
1，2，3，4，5≥0
f11200
首先可以写出线性方程组的矩阵形式：02012发现不存在单位矩阵，所
30132
以要采用人造基的方式，也就是要添加人工变量：6，7，8，那么线性方程组
12236100
224257100
可以表示为：
，目标函数可以表示为：
31334258100
1，2，3，4，5，6，7，8≥0
mi
z01032013084025M678
转换为求目标最大化maxZ01032013084025M67
8
然后列出初始单纯形表：注意，加入人工变量之后，它所对应的系数为M，而非
0

M
0
03
01
08
02

b
1
2
3
4
5
6
10
0
1
1
2
0
0
M
7
10
0
0
2
0
1
2
M
8
10
0
3
0
1
3
2
4
M
033
M
013
M
084
M
024
M

M
M
M
6
1
7
0
8
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0

100
100
3
换入变量为1，换出变量为8，得到单纯形表为：
0
03
01
08
02
b
1
2
3
4
5
200
3
0
1
53
1
23

6
M
M
7
100
0
2
0
1
2
0
1
100
3
1
0
13
1
23
0
033
M
015
3M
08
024
3M

M
M
M

6
1
7
0
8
13
0
1
0
0
0
13
0
0
43
M
200
3
100
2

f换入变量为2，换出变量为7，得到的单纯形表为：

M
0
03
01
08
02
M
M
M
6
1
7
12
8
13
0
12
0
0
0
13
0
01532M
43
M

b
1
2
3
4
5
6
503
0
0
53
32
53
03
2
50
r