二、双曲线方程1双曲线的第一定义：
PF1PF22aF1F2方程为双曲线PF1PF22aF1F2无轨迹PF1PF22aF1F2以F1F2的一个端点的一条射线
bcosbsi
acosasi
Nx
N的轨迹是椭圆
⑴①双曲线标准方程：
Ax2Cy21AC0
x2a2

y2b2
1ab0
y2a2

x2b2
1ab0一般方程：
⑵①i焦点在x轴上：顶点：a0a0
x2a2y2b20
焦点：c0c0
准线方程x
a2c
渐近线方程：
xy0或ab
ii焦点在y轴上：顶点：0a0a焦点：0c0c准线方程：y
xasecxbta
y2x2yx或0或220，参数方程：ybta
ababyasec
a2c
渐近线
方程：
②轴xy为对称轴，实轴长为2a虚轴长为2b，焦距2c③离心率e（两准线的距离）；通径线方程
x2a2y2b2
2b2a
ca
④准线距
2a2c
⑤参数关系c2a2b2e
ca
⑥焦点半径公式：对于双曲
1（F1F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则：
MF1ex0aMF2ex0a
构成满足MF1MF22a
▲
MF1ex0aMF2ex0a
y
（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半
径要带符号计算，而双曲线不带符号）
M
▲
yF1M
M
xF1F2MF2
x
fMF1ey0aMF2ey0aMF1ey0aMF2ey0a
⑶等轴双曲线：双曲线x2y2a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率e2⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线
x2y2x2y2x2y2与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：0a2b2a2b2a2b2x2a
2
⑸共渐近线的双曲线系方程：

y2b
2
0的渐近线方程为
x2a
2

y2b2
0如果双曲线的
▲
x2y2xy渐近线为0时，它的双曲线方程可设为220abab
y
4
3
21
F2x
11例如：若双曲线一条渐近线为yx且过p3，求双曲线的方程？22
F1
533
解：令双曲线的方程为：
1x2x2y2y20，代入3得18242
⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与r