高等数学教案
第五章定积分
第五章
教学目的：
定积分
1、理解定积分的概念。2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿莱布尼茨公式。4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。3、牛顿莱布尼茨公式。教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法。4、变上限函数的导数。§1定积分概念与性质5一、定积分问题举例1曲边梯形的面积曲边梯形设函数yfx在区间ab上非负、连续由直线xa、xb、y0及曲线yfx所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值具体方法是在区间ab中任意插入若干个分点ax0x1x2x
1x
b把ab分成
个小区间x0x1x1x2x2x3x
1x
它们的长度依次为x1x1x0x2x2x1x
x
x
1经过每一个分点作平行于y轴的直线段把曲边梯形分成
个窄曲边梯形在每个小区间xi1xi上任取一点i以xi1xi为底、i为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形i12f
把这样得到的
个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值即Af1x1f2x2f
x
fixi
i1

求曲边梯形的面积的精确值显然分点越多、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯
1
f高等数学教案
第五章定积分
形面积A的精确值因此要求曲边梯形面积A的精确值只需无限地增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零记maxx1x2x
于是上述增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零相当于令0所以曲边梯形的面积为
Alimfixi
0i1

2变速直线运动的路程设物体作直线运动已知速度vvt是时间间隔T1T2上t的连续函数且vt0计算在这段时间内物体所经过的路程S求近似路程我们把时间间隔T1T2分成
个r