小的时间间隔ti在每个小的时间间隔ti内物体运动看成是均速的其速度近似为物体在时间间隔ti内某点i的速度vi物体在时间间隔ti内运动的距离近似为Siviti把物体在每一小的时间间隔ti内运动的距离加起来作为物体在时间间隔T1T2内所经过的路程S的近似值具体做法是在时间间隔T1T2内任意插入若干个分点T1t0t1t2t
1t
T2把T1T2分成
个小段t0t1t1t2t
1t
各小段时间的长依次为t1t1t0t2t2t1t
t
t
1相应地在各段时间内物体经过的路程依次为S1S2S
在时间间隔ti1ti上任取一个时刻iti1iti以i时刻的速度vi来代替ti1ti上各个时刻的速度得到部分路程Si的近似值即Sivitii12
于是这
段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S的近似值即
Sviti
i1

求精确值记maxt1t2t
当0时取上述和式的极限即得变速直线运动的路程
Slimviti
0i1

设函数yfx在区间ab上非负、连续求直线xa、xb、y0及曲线yfx所围成的曲边梯形的面积1用分点ax0x1x2x
1x
b把区间ab分成
个小区间x0x1x1x2x2x3x
1x
记xixixi1i12
2任取ixi1xi以xi1xi为底的小曲边梯形的面积可近似为
2
f高等数学教案
第五章定积分
fixii12
所求曲边梯形面积A的近似值为
Afixi
i1

3记maxx1x2x
所以曲边梯形面积的精确值为
Alimfixi
0
i1


设物体作直线运动已知速度vvt是时间间隔T1T2上t的连续函数且vt0计算在这段时间内物体所经过的路程S1用分点T1t0t1t2t
1t
T2把时间间隔T1T2分成
个小时间段t0t1t1t2t
1t
记tititi1i12
2任取iti1ti在时间段ti1ti内物体所经过的路程可近似为vitii12
所求路程S的近似值为
Sviti
i1


3记r