最小值为h2．2213．22
xgx）hxg1）h21所以fx－f′3对于任意的x12成立．2
即fxfx
（21）（本小题满分14分）
x2y23平面直角坐标系xOy中，椭圆C221ab0的离心率是，抛物线ab2
Ex22y的焦点F是C的一个顶点．
fⅠ求椭圆C的方程；Ⅱ设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点
AB，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G记PFG的面积为S1，PDM的面积为S2，求最大值及取得最大值时点P的坐标．【解析】Ⅰ由离心率是
S1的S2
322，有a4b，2
121，于是a1，2
2又抛物线x2y的焦点坐标为F0，所以b
所以椭圆C的方程为x4y1．
2
2
m2m0，Ⅱ（i）设P点坐标为P（m2
x，所以E在点P处的切线l的斜率为m，由x2y得y′
因此切线l的方程为ymx－
2
m2，2
设Ax1y1Bx2y2，Dx0y0，将ymx－
m222代入x4y1，得2
（14m2x2－4m3xm2－10．
x1x22m34m3于是x1x2，x0，214m214m2
m2－m2－又y0mx0，2214m2
于是直线OD的方程为y－
1x．4m
联立方程y－
11x与xm，得M的坐标为Mm－．4m4
f所以点M在定直线y－
1上．4
（ii）在切线l的方程为ymx－
m2m2中，令x0，得y－，22
即点G的坐标为G0－
1m2m2，又Pm，F0，222
1mm21所以S1m×GF；24
再由D
2m3－m2，得4m2124m21
12m212m3mm2m212S2××2244m184m21
S124m21m21于是有．S22m212
12t－t1S111222－2令t2m1，得2S2ttt
当
1t
S119时，即t2时，取得最大值．24S2
2
此时m
1221，m，所以P点的坐标为P．2224
所以
S1921的最大值为，取得最大值时点P的坐标为P．424S2
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