微专题1
高考中的函数与导数问题
一、选择题每小题5分共20分1已知函数fxx∈R满足fxf2xgxx2x若fxgxhxhx为一元二次函数fx的最高次项的系数为1则fx的极小值点为Ax1Bx1Cx1Dx1或1
2已知函数fxxex若存在x∈R使得fx≤ax成立则实数a的取值范围是A∞1eB1∞C1e1D∞1e∪1∞
3已知函数fx的定义域为R其图象关于直线x1对称其导函数为fx当x1时2fxx1fx0那么不等式x12fx2f2的解集为A∞0B∞2C20D∞2∪0∞
4若函数fxmx22l
x在e上有两个不同的零点则实数m的取值范围为
A1e22
B4e22
C14D1∞
二、填空题每小题5分共10分5已知函数fxex2x24xe为自然对数的底数则函数fx的图象在x1处的切线方程是6已知函数fxl
x12的图象的一条切线为yaxb则的最小值是三、解答题共48分712分已知fxx22axl
x1当a1时求fx的单调性2若fx为fx的导函数fx有两个不相等的极值点x1x2x1x2求2fx1fx2的最小值812分已知函数fx1讨论函数fx的零点的个数x0a∈R
f2若函数gxexl
x2x21且对于任意的x∈0∞总有xfx≤gx成立求实数a的最大值912分已知函数fxal
xx2a∈R1若函数fx有极值点求a的取值范围2若对任意的x1∈1e总存在x2∈1e使得fx1fx24求实数a的值1012分已知函数fxe1xgxx2axaa∈Re为自然对数的底数1求证当a≥2且x1时fxgx2判断“a≤4”是“φxfxgx存在最小值”的什么条件并予以证明
答案
1A解法一由题易知01为方程gx0的根则01为函数fx的零点由于fxf2x即函数fx的图象关于直线x1对称则23也为函数fx的零点所以fxx1xx2x3xx2x1x3x22xx22x3fx2x2x22x3x22x2x24x1x22x
4x1x1x1
x1
令fx0得x1
或1x1
令fx0得1
x1或
所以x1为函数fx的极小值点故选A
解法二由题易知01为方程gx0的根则01为函数fx的零点由于fxf2x即函数fx的图象关于直线x1对称则23也为函数fx的零点所以fxx1xx2x3把函数fx的图象向左平移1个单位长度得到的图象对应的函数为mxfx1x2x1x1x2x21x24x45x24mx4xx24xxmx0则故选A2D解法一可以考虑研究问题“对任意的x∈Rfxax恒成立”即xax在R上恒成立x0或xx令mx0则x或0x令
所以x0为函数mx的极小值点则x1为函r