，，分量x
在a
处取极大值因此，fx在点a取极大值同理可证xagradfx0，则fx在点a达到严格极小值推论1当fxgutvt时，其中gut连续，在B0t内可微时，
vtgv0，则gt在a点取得极大值；若tagttautguvtgv0，则gt在a点取得极小值若tagttautgu
推论2当fxyguxyvxy时，
gugvgugv当xaybuxvxuyvy0时，fxy在ab取得
极大值；
gugvgugv当xaybuxvxuyvy0时，fxy在ab取得
极小值例1讨论zx25y26x10y6的极值点解：
zx2x60
zy10y100，
驻点为31因为
x3y12x610y102x3210y120
，所以
2
fzx25y26x10y6在31取极小值
例2求空间中任一点xyz与
个点Pixiyizii12
的最短距离解：
d2xyzxx1xx
yy1yy
222
2
zz1zz
22
2ddx2xx12xx
0
x0
x1x
y1y
z1z

2ddy2yy12yy
0取
2ddz2zz12zz
0
y0
z0
2
x2
x0xx0yy0zz02d
1xx02yy02zz020d

2
y2
y02
z2
z02d2d


当x0
1
1
1
xiy0yiz0zi时，dxyz能取到最小值
i1
i1
i1
例3
求gxy1xy的极值
23
45
解：这里gxy无临界点，即满足gradg0的点xy不存在，因此不能应用多元函数的极值充分条件
2gxx3，34gyy5，5
11
使得gxgy不存在的点为00
2xyx3
13

124452345yxy0，即00为gxy的严格极大值535
3
f点例4求fr