利用梯度求多元函数的极值
由极值存在的必要条件和充分条件可知，在定义域内求
元函数的极值需要判定Hesse
矩阵的正定性对于多元函数来说，判定一个
阶矩阵的正定性有时比较复杂，下面给出利用梯度和内积的方法来判断多元函数的极值的方法由前面所介绍的一元函数所给出的定理知：引理1设fx在点x0连续，在x0x0x0x0内可导⑴当xx0x0时，fx0，当xx0x0，fx0，则fx在
x0点取得极小值
⑵若xx0x0时，fx0，当xx0x0fx0，则fx在
x0点取得极大值
引理2设fx在x0点连续，在x0x0x0x0内可微，若xx0x0x0x0，有xx0fx0，则fx在点x0取得极大值；若xx0x0x0x0，有xx0fx0，则fx在点x0取得极小值证：当xx0x0，xx0fx0，所以fx0；当xx0x0，xx0fx0，所以fx0；由引理1，fx在x0点取得极大值；同理可证，当xx0x0x0x0，xx0fx0，fx在x0点取得极小值将引理2推广到
元函数时，即可得到求多元函数极值的充分条件定理1设fx是R
R上的一个映射，aa1a2a
R
Ba是
a的一个邻域，若fx在Ba上连续，在B0a内可微，则有
⑴若xB0a，有xagradfx0，则fx在点a达到严格极大值；
adfx0，则fx在点a达到严格极小值，⑵若xB0a，有xagr
fxfxfx
其中，gradfxxxx“”表示R中一般的内积2
1
1
f证：由题意可知
xx1x
，fxfx1x
，
fxfxgradfx，x
x1
xax1a1x
a
，
对x
xagradfxx1a1
fxfxx
a
0，x1x

取x，使xax1a100，因此，分量x1在a1处取极大值，依次可得分量x2在a2处取极大值r