k

N置k

k
10


y

x

maxabsx
转4
否则输出失败信息停机
3matlab程序代码
fu
ctio
syi
vpowerAx0eps
s为按模最小特征值，y是对应特征向量
k1r0r相当于0
yx0maxabsx0规范化初始向量
LUluA
zLy
xUz
umaxx
s1u
按模最小为A1按模最大的倒数
ifabsureps判断第一次迭代后是否满足终止条件
retur

e
dwhileabsurepsk
终止条件
kk1
ru
yxmaxabsx
zLy
xUz
umaxx
e
dmi
dexmaxabsxs1xi
dex
这两步保证取出来的按模最大特征值是原值，而非其绝对值。
e
d
4举例验证同幂法一样，选取一个矩阵A，代入程序，得到结果，并与eigA的得到结果比
较，再计算Ayty，验证y是否是对应的特征向量。
f可见结果正确，然后利用此程序计算15阶Hilb矩阵，eigA的得到结果比
较，再计算Aysy，验证y是否是对应的特征向量。设置初始向量为
x0o
es151，结果显示如下
f可见，结果真确。得到了15阶Hilb矩阵的按模最大特征值和对应的特征向量。
三计算条件数
矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积，即co
dA‖A‖‖A1‖，对应矩阵的3种范数，可以定义3种条件数。函数co
dA1、co
dA或co
dAi
f是判断矩阵病态与否的一种度量，条件数越大表明矩阵的病态程度越大
这里我们选择矩阵的2范数，即co
dA矩阵ATA的最大和最小特征值
12

1
2分别为
而如果A为对称矩阵，如Hilb矩阵，ATA的最大最小特征值，分别为A的
最大最小特征值的平方。所以co
dA为A的最大最小特征值得比值。对于本例中的15阶Hilb矩阵来说，利用上面计算结果得其条件数选择第二种条件数）
为：30934e017；这与直接利用co
dA得到的结果：25083e017在同一
f数量级，再次表明了上述算得得最大最小特征值的正确性，同时又表明Hilb矩阵是病态矩阵。
四Aitke
商加速法
1简介与原理
若ak
收敛与a且limk
ak1aaka

c

0即ak线性收敛
当k充分大时有ak1aak2aakaak1a
y
2

x
2

x
2x
12x
22x
1x


a
ak

ak1ak2ak22ak1ak

ak
用ak逼近a这种方法称为Aitke
加速法
同幂法和反幂法计算最大和最小特征值类似，如果计算最大特征值，则迭代格式
为xk1Ayk；计算最小特征值时，迭代格式为
xk1A1yk即ykAxk1。
2算法实现计算按模最大特征值算法如下：
1输入Aaij初始向量x误差限最大迭代次数N
2置k100
10
010
yxmaxx
3计算xAy置maxx2
4计算

0

1022210

5若0输出y停机否则转6
6若kNr