数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量
一幂法
1幂法简介：当矩阵A满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值按模最大
及其特征向量。矩阵A需要满足的条件为：
112
0i为A的特征值
2存在
个线性无关的特征向量，设为x1x2x
11计算过程：

对任意向量x0，有x0iuii不全为0，则有i1
xk1AxkAk1x0



Ak1αiuiαiλik1ui
i1
i1

λ1k
1
1u1


21
k1a2u2


1
k1a
u


1k11u1
可见，当
21
越小时，收敛越快；且当k
充分大时，有
xxk11k11u1
xk1k1u1

xk1xk

1，对应的特征向量即是
k1
。
2算法实现
1输入矩阵A，初始向量x，误差限最大迭代次数N
2k
1

0
yk

xkmaxabsxk
3计算xAymaxx
4若输出y否则转5
5若kN置kk1转3否则输出失败信息停机
3matlab程序代码
ffu
ctio
tylpowerAx0epsNt为所求特征值，y是对应特征向量
k1
z0
z相当于
yx0maxabsx0规范化初始向量
xAy
迭代格式
bmaxx
b相当于
ifabszbeps
判断第一次迭代后是否满足要求
tmaxx
retur

e
d
whileabszbepskN
kk1
zb
yxmaxabsx
xAy
bmaxx
e
d
mi
dexmaxabsx这两步保证取出来的按模最大特征值
txi
dex
是原值，而非其绝对值。
e
d
4举例验证选取一个矩阵A，代入程序，得到结果，并与eigA的得到结果比较，再计
算Ayty，验证y是否是对应的特征向量。结果如下：
f结果正确，表明算法和代码正确，然后利用此程序计算15阶Hilb矩阵，与
eigA的得到结果比较，再计算Ayty，验证y是否是对应的特征向量。设
置初始向量为x0o
es151，结果显示如下
f可见，结果正确。得到了15阶Hilb矩阵的按模最大特征值和对应的特征向量。
二反幂法
1反幂法简介及其理论
在工程计算中，可以利用反幂法计算矩阵按模最小特征值及其对应特征向量。其基本理论如下，与幂法基本相同：
由Ax

x

x

A1x，则A1x

1
x
，可知，A
和
A1的特征值互为倒数，
求A按模最小特征值即求A1的按模最大特征值取倒数即为A的按模最小特征值所以算法基本相同，区别就是在计算
xk1时，不是令xk1Ayk而是xk1A1yk具体计算时，变换为
Axk1yk对A做LU分解，来计算xk1
2算法实现
f1输入矩阵A初始向量x误差限最大迭代次数N
2置k
1
0

0
y

xmaxabsx

3作三角分解ALU
4解方程组LUxyLzyUxz
5maxx
6若



0



输出1

y
停机否则转7
7若r