、PB、PC之间的关系，进而求到PD的长四、与正方形有关辅助线的作法
正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线
1例7如图8，过正方形ABCD的顶点B作BEAC，且AEAC，又CFAE求证：∠BCF2∠AEB
分析：由BEAC，CFAE，AEAC，可知四边形AEFC是菱形，作AH⊥BE于H，根据正方形的性
1质可知四边形AHBO是正方形，从AHOB2AC，可算出∠E∠ACF30°，∠BCF15°
f证明：连接BD交AC于O，作AH⊥BE交BE于H在正方形ABCD中，AC⊥BD，AOBO，又BEAC，AH⊥BE，所以BO⊥AC，
1所以四边形AOBH为正方形，所以AHAO2AC，
因为AEAC，所以∠AEH30°，因为BEAC，AECF，所以ACFE是菱形，所以∠AEF∠ACF30°，因为AC是正方形的对角线，所以∠ACB45°，
1所以∠BCF15°，所以∠BCF2∠AEB
说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题与梯形有关的辅助线的作法
和梯形有关的辅助线的作法是较多的主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4）延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等例8已知，如图9，在梯形ABCD中，ADBC，ABAC，∠BAC90°，BDBC，BD交AC于点0求证：COCD分析：要证明COCD，可证明∠COD∠CDO，由于已知∠BAC90°，所以可通过作梯形高构造矩形，借助直角三角形的性质解决问题
证明：过点A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别是E、F，则四边形AEFD为矩形，因为AEDF，ABAC，AE⊥BC，∠BAC90°，
1
1
所以AEBECE2BC，∠ACB45°，所以AEDF2，
又DF⊥BC，所以在Rt△DFB中，∠DBC30°，
180DBC75
又BDBC，所以∠BDC∠BCD
2
，
所以∠DOC∠DBC∠ACB30°45°75°所以∠BDC∠DOC，所以C0CD
f图9说明：在证明线段相等时，一般利用等角对等边来证明，本题作梯形的高将梯形转化为矩形和直角三角形，进而根据直角三角形知识解决例9如图10，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AC⊥BD，ADBC10，DE⊥BC于E求DE的长分析：根据本题的已知条件，可通过平移一条对角线，把梯形转化为平行四边形和直角三角形，借助勾股定理解决解：过点D作DFAC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形，所以ACDF，ADCF，因为四边形ABCD为等腰r