1996年全国高中数学联赛
1996年全国高中数学联合竞赛试卷
冯惠愚
第一试
10月13日上午8：00－9：20
一、选择题本题满分36分，每题6分
1．把圆x2y－121与椭圆9x2y129的公共点，用线段连接起来所得到的图形为
A线段B不等边三角形C等边三角形D四边形2．等比数列a
的首项a11536公比q－12用π
表示它的前
项之积。则π
∈N最大的是
Aπ9
Bπ11
Cπ12
Dπ13
3．存在整数
使p
是整数的质数p
A不存在
B只有一个
C多于一个但为有限个
D有无穷多个
4．设x∈－12，0以下三个数α1cossi
xπα2si
cosxπα3cosx1π的大小关系是

Aα3α2α1
Bα1α3α2Cα3α1α2
Dα2α3α1
5．如果在区间12上函数fxx2pxq与gxxx12在同一点取相同的最小值，那么fx在该区间
上的最大值是
A41213234C1－123234
B4－523234D以上答案都不对
6．高为8的圆台内有一个半径为2的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台的上底面、侧面都相
切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除
球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是
A1
B2
C3
D4
二、填空题本题满分54分，每小题9分
1．集合x－1≤log1x10－12，x∈N的真子集的个数是
．
_2．复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，z1z2的实部为零，z1的辐角主值为
π6，则z2_______．
3．曲线C的极坐标方程是ρ1cosθ，点A的极坐标是20，曲线C在它所在的平面内绕A旋转
1
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一周，则它扫过的图形的面积是_______．
冯惠愚
4．已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并
且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________．
5．从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每
两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_______种．注：如果我们对两个相同的正
方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，
那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同．
6．在直角坐标平面，以1990为圆心，199为半径的圆周上整点即横、纵坐标皆为整数的点的个
数为________．
2
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第二试
冯惠愚
一、（本题满分25分）设数列a
的前
项和S
2a
－1（
1，2，…），数列b
满足b13，br