由递推关系求通项公式
因为数列在课本上的内容和习题相对都比较简单，而在考试尤其是高考中数列题目大多数又比较难，
有的题目很难、很复杂，显示出很大的反差。使得在学习数列时感到很困难。同时，数列题目种类繁多，
很难归类。为了便于研究数列问题，找出其中某些常见数列题目的解题思路、规律、方法，现把一些常见
的数列通项公式的求法作以下归类。
一、作差求和法mwwwks5uco
例1
在数列
a

中，a1

3a
1

a


1
1
，求通项公式a


解：原递推式可化为：a
1

a


1



1
1
则
a2

a1
11
12
a3

a2

12

13
a4

a3

13

14
，……，
a



a
1

1
1
1

逐项相加得：a


a1
1
1

故a


4
1


二、作商求和法
例2设数列a
是首项为1的正项数列，且
1a
12
a
2a
1a
0（
123…），则它的
通项公式是a
（2000年高考15题）
解：原递推式可化为：

1a
1
a
a
1a
0
∵a
1a
＞0，
a
1
a
1
则a21a32a43……，a
1
a12a23a34
a
1


逐项相乘得：a
a1

1

，即
a



1


三、换元法
例3
已知数列a
，其中a1

43

a2

139
，且当

≥3
时，
a

a
1

13
a
1
a
2，求通项公
式a
（1986年高考文科第八题改编）
解：设b
1a
a
1，原递推式可化为：
b
1

13b
2b

是一个等比数列，
b1

a2

a1

139

43

19
，公比为
13
故
b
1

b1

1
23

11
293


13



故
a

a
1


13


由逐差法可得：
a



32

11
23
例4已知数列a
，其中a11a22，且当
≥3时，a
2a
1a
21，求通项公式a
。解
由a
2a
1a
21得：a
a
1a
1a
21，令b
1a
a
1，则上式为b
1b
21，
因此b
是一个等差数列，b1a2a11，公差为1故b
。
由于b1b2b
1a2a1a3a2a
a
1a
1
f又b1

b2

b
1


12
所以a

1
12



1
，即
a


1
22

2
四、积差相消法
例5设正数列a0，a1，a
…，a
，…满足a
a
2a
1a
22a
1

2且a0a11，
求a
的通项公式
解
将递推式两边同除以
a
1a
2整理得：
a
2a
1
a
11a
2
设b

a
a
1
，则b1

a1a0
1r