是否为定值？如果是，请求出定值；若不是，请说明理由．
分析第（1）可以利用待定系数法，首先设椭圆方程为
x2y21ab0，通过条a2b2
件右准线的方程为x＝1和倾斜角为坐标为
的直线l交椭圆C于P、Q两点，且线段PQ的中点4
11，列出方程组，解出a，b；第（2）问可以先设出M，N点的坐标，将条件24
“OM、
3OA、ON三者的平方成等差数列”作适当转化，即可。2
x2y21ab0a2b2
①
解答：（1）设椭圆方程为直线l的方程为y
113x，即yx4243292222aa2b20由①②得：abxax216
设Ax1y1Bx2y2，则x1x2
②
3a21即a22b2222ab
③
f又由C的准线方程为x1得由③④⑤解得a
2
a21即ca2c
④
又abc
22
2
⑤
11b2。∴椭圆C的方程为2x24y21．24
22
（2）法一：设Mx3y3Nx4y4，则2x34y31两式相加整理得：x3x42y3y41∵OM、
2222
2x44y41
⑥
2
2
3OA、ON三者的平方成等差数列，2
2
3122OA，又A为椭圆C的右顶点，∴OA＝，2233222222∴OMON＝，∴x3x4y3y4⑦44112222由⑥⑦解得：x3x4，y3y4241112222222222∵x3x414y314y414y3y416y3y44y3y4224
∴OM2ON＝∴
y3y4x3x4
2
2
22

yy11，即KOPKOQ＝34为定值．4x3x42
y322，2x34y31，x3
法二：设Mx3y3Nx4y4，则k1＝
于是
22x3
24k1
2x3
2＝1，x3
211k12k2222＝，y3＝同理，x4＝，y4＝．2224k1224k224k1224k2
由OM2ON＝
2
3322222OA，得x3y3x4y4，于是42
223311k12k21k121k2＝，即＝，2222224424k124k124k224k224k124k2
2解得k1k2＝2
11，k1k2＝，为定值．42
法三：设M（
22
3111122cosα，si
α），N（cosβ，si
β），则由OM2ON＝OA，22222
22
得x3y3x4y4
311311，于是cos2αsi
2αcos2βsi
2β＝，424244
所以，cos2α－si
2β＝0，也是cos2β－si
2α＝0，于是
121si
2si
211ta
αta
2β＝＝，所以k1k2＝，为定值．2244coscos42
fr