置；若不能，请说明理由。D1B1C1
DFAEB
C
f14（本题满分13分）关于x的一元二次方程2x—tx—2＝0的两个根为α、βα＜β。Ⅰ若x1、x2为区间α，β上的两个不同的点，求证：4x1x2－tx1＋x2－4＜0；Ⅱ设fx4xt，fx在区间α，β上的最大值和最小值分别为fmax和fmi
，gt＝fmax－fmi
，2
2
x1
求gt的最小值。
15（本题满分13分）已知a1＝1，a2＝3，a
＋2＝
＋3a
＋1－
＋2a
，若当m≥
时，am的值都能被9整除，求
的最小值。
16（本题满分13分）一台计算机装置的示意图如图，其中J1、J2表示数据入口，C是计算结果的出口。计算过程是由J1、J2分别输入自然数m和
，经过计算后得计算机装置自然数K由C输出。若此装置满足以下三个性质：①J1、J2分别输入1，则输出结果1；②若J1输入任何固定自然数不变，J2输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2；③若J2输入1，J1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，试问：Ⅰ若J1输入1，J2输入自然数
，则输出结果为多少？Ⅱ若J2输入1，J1输入自然数m，则输出结果为多少？Ⅲ若J1输入自然数2002，J2输入自然数9，则输出结果为多少？CKmJ1
J2
f17（本题满分13分）以A为圆心，以2cosθ（＜θ＜）为半径的圆外有一点B，已知AB＝2si
θ。设过点B且与
4
2
圆A外切于点T的圆的圆心为M。（Ⅰ）当θ取某个值时，说明点M的轨迹P是什么曲线；（Ⅱ）点M是轨迹P上的动点，点N是圆A上的动点，把MN的最小值记为fθ（不要求证明），求fθ的取值范围；（Ⅲ）若将题设条件中的θ的范围改为（0＜θ＜＝，点B的位置改为圆内，其它条件不变，点M
4
的轨迹记为P。试提出一个和具有相同结构的有意义的问题（不要求解答）。18（本题满分14分）设长方体的长、高分别为a、c，宽、b、其体对角线长为l，试证：－al－bl－c≥512abc。l
444444444
湖南省2002年高中数学竞赛试题解答
一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分）1解：由y＝f－x得fy＝－x，故y＝－fx是y＝f－x的反函数，即－fx＝f－x。所以y＝fx是奇函数，选（A）。注：也可以先求得y＝f－x的反函数为y＝－fx，进而知y＝fx是奇函数，故y＝fx是奇函数。2解：如图，f1＝a＋b＋c＜0，f－1＝a－b＋c＞0，a＞0，f0＝c＜0，b＞1。
－1－1－1－1
2a
从而b＜0，2a＋b＜0，2a－b＞0，a－c＜0。故M－N＝a－b＋c＋2a＋b－a＋b＋c－2a－b＝a－b＋c＋a＋b＋c－2a＋b－2a－b＝r