即Aα
11
uv
uv
uv
v1u
λ
α
1∴是A1的特征值
λ
2）A2αAλαλAαλ2α
uv
uv
uv
uv
uvuv2Aα2λα
uvuv∴A22A3Eαλ22λ3α
∴λ22λ3是A22A3E的特征值
4．已知0是矩阵
1A0102010a
的一个特征值（1）求a的值；2）求A的特征值和和特征向量（
1解：1）A0E01
020
100a10001λ1
1λ02）AλE02λ10
λ10λ2λ32
1当λ10时011当λ2λ32时01020000101uux0αv0020111001uuuux0αv1αv00230011
5．已知三阶可逆矩阵A的特征值为1，2，3，求下列矩阵B的特征值：
（1）BE2AA2；（3）BEA1；（5）BA
1（2）BA21；3
（4）BA
f解：1）B的特征值为4，9，162）B的特征值为3，34，133）B的特征值为2，32，434）B的特征值为6，3，25）B的特征值为6，12，18
a6．设矩阵Abc21202有特征值λ12λ11和λ3，求a，b，c和λ3的值0
aλ2解：AλEb1λc2
020λ
当λ12λ21时上式为0则a2b2c0∴λ34
7．λ1λ2是
阶矩阵A的两个不同的特征值，1λ2分别是A对应于λ1λ2的特征向量，设λ证明α1α2
不是A的特征向量解：反证设α1α2是A对应于特征值λ0的特征向量则
uuuuvv
uuuuvvuuuuvvAα1α2λ0α1α2uuvuuvuuvuuv∴Aα1Aα2λ0α1λ0α2uuvuuuuvvuuvuuvuuvuuvuuvuuvuuv又Aα1λ1α1Aα2λ2α2则Aα1Aα2λ1α1λ2α2≠λ0α1λ0α2矛盾
8．证明：相似矩阵的行列式相等
解：设B～A即存在PP≠0使P1APB
∴P1APP1APB
9．证明：相似矩阵的秩相等
解：设B～A即存在PP≠0使P1APB则AB则rArB
f10．设A，B为
阶矩阵，A可逆，则AB～BA解：QA是可逆则
A1ABAA1ABABA
∴BA～AB
11．判断下列矩阵A是否可角化若可以对角化，试求出可逆矩阵P，使P1AP为对角矩阵
1（1）A21；2
1434（2）A1312；5r