线性代数（中国商业出版社）课后习题详解习题四（A）1．求下列矩阵的特征值和特征向量：
2（1）A34；3
2（2）A013211（4）A2312114311；1125
1（3）A32
213
解：1）AλE
2λ3
403λ
得λ11λ26
3当λ11时34当λ26时3
v40uu4x0α134v40uu1xα2301
2λ2）AλE00
12λ1
001λ1
得λ11λ2λ32
1当λ11时000当λ2λ32时001λ3）AλE325当λ16时32
1111
101uux0αv0010101010uuuux0αv0αv10230011
0123
1λ3253
201λ301uvx0α12015
f1λ4）AλE23
得λ16λ2λ32
14λ3
1205λ
5当λ16时23
123123
101uux0αv2210311011uuuux0αv1αv02230013
1当λ2λ32时23
2．求下列矩阵A的特征值和特征向量：（1）A是
阶零矩阵，即AO；（2）A是
阶数量矩阵，即AaEa≠0
λλ0解：1AλEOλ
λ1λ2Lλ
0
特征向量ε110L0ε201L0Lε
00L1
TTT
uv
uuv
uuv
aλaλ02AλEOaλ
λ1λ2Lλ
0
特征向量ε110L0ε201L0Lε
00L1
TT
uv
uuv
uuv
T
3．设
阶矩阵A有特征值λ证明：
（1）若A可逆，则
1
λ
是A1的特征值；
（2）λ22λ3是A22A3E的特征值
解：1）由已知，存在α≠0使Aαλα
uv
uv
uv
f而A可逆则αAλαr