9
，则c0∈916，从而fc0
∈01．过
点c0fc0作平行于x轴的直线l，则l与fx的图像另有两个交点afa，
bfb（其中a03b39），满足fafbfc，并且ab9，从而abcr．
10（本题满分20分）已知实数列a1a2a3满足：对任意正整数
，有a
2S
a
1，其中S
表示数列的前
项和．证明：
1对任意正整数
，有a
2

2对任意正整数
，有a
a
11．
证明：1约定S00．由条件知，对任意正整数
，有
1a

2S


a



S


S


1S


S


1

S


2

S


2
1
，
S
S0
，即S
（当
0时亦成立）．…………………5分
显然，a
S
S
1
12
…………………10分2仅需考虑a
a
1同号的情况．不失一般性，可设a
a
1均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则S
1S
S
1
，故必有此时从而
a
a
1
1
1
1
1
1．…………………20分
56
f11（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，设AB是抛物线y24x的过点F10的弦，AOB的外接圆交抛物线于点P（不同于点OAB）．若PF平分APB，求PF的所有可能值．
解：设
A
y124

y1
，B
y224

y2
，P
y324

y3
，由条件知
y1
y2
y3两两不等且非零．
设直线AB的方程为xty1，与抛物线方程联立可得y24ty40，故
y1y24．①注意到AOB的外接圆过点O，可设该圆的方程为x2y2dxey0，与
x

y24
y4联立得，16
1
dy24
ey
0．该四次方程有
y

y1
y2
y30
这四个
不同的实根，故由韦达定理得y1y2y300，从而
y3y1y2．②…………………5分
因PF平分APB，由角平分线定理知，
PAPB

FAFB

y1y2
，结合①、②，有
y12y22

PA2PB2

y32y1244
y32y23244
y3y12y3y22
y1y22y122162y1y22y1y22y222162y2y12

y24y14
64y1264y22
192192
即y1664y12y22192y12y2664y22y12192y22，故

y12

y22
y14

y12
y
22

y
42
192

0
．
当y2y2时，yy，故y0，此时P与O重合，与条件不符．
当
y
4

y2
y
2

y
4
192

0
时，注意到①，有
y2y22192yy2208
y2y241382y1y2，故满足①以及y1y2413的实数y1y2存在，对应可得满足条件的点AB．此时，结合①、②知
PF

y32
1y1y224

y12

y
22
4

4
4
4
…………………20分
20844
131
66
fr