2018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准
1评阅试卷时，请依据本评分标准填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．
1设集合A12399B2xxACx2xA，则BC的元
素个数为．
答案：24．
解：由条件知，BC24619811329924648，
22
2
故BC的元素个数为24．
2设点P到平面的距离为3，点Q在平面上，使得直线PQ与所成
角不小于30且不大于60，则这样的点Q所构成的区域的面积为．
答案：8．
解：设点P在平面上的射影为O．由条件知，OPta
OPQ33
OQ
3
即OQ13，故所求的区域面积为32128．
3将123456随机排成一行，记为abcdef，则abcdef是偶数的概率为
答案：910
解：先考虑abcdef为奇数的情况，此时abcdef一奇一偶，若abc为奇数，则abc为135的排列，进而def为246的排列，这样有3×336种情况，由对称性可知，使abcdef为奇数的情况数为36×272种．从而abcdef为偶
数的概率为
1
726

1
72720

910
16
f4
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C
x2a2

y2b2
1ab0的左、右焦点
分别是F1、F2，椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴与y轴，且相交于点P．已
知线段PUPSPVPT的长分别为1236，则PF1F2的面积为．
答案：15
解：由对称性，不妨设PxPyP在第一象限，则由条件知
x1PTPS2y1PVPU1
2
2
即P21．进而由xPPU1PS2得U22S41，代入椭圆C的方程知414116111，解得a220b25．
abab
1从而SPF1F22F1F2yP
a2b2yP
15
5设fx是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间01上严格递减，
且满足
f


1
f
2

2
，则不等式组
1
1
x2的解集为fx2
．
答案：282．
解：由fx为偶函数及在01上严格递减知，fx在10上严格递增，再结合fx以2为周期可知，12是fx的严格递增区间．
注意到
f2f1f82f2f22，
所以
1fx2f2fxf82，
而12822，故原不等式组成立当且仅当x282．6设复数z满足z1，使得关于x的方程zx22zx20有实r