立体几何解答题
1、已知三棱柱ABCA1B1C1，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA1底面ABC，
AB2AA14，E为AA1的中点，F为BC中点．
Ⅰ求证：直线AF平面BEC1；（Ⅱ）求平面BEC1和平面ABC所成的锐二面角的余弦值．
C1
A1
E
C
B1
FB
A
1、法一（Ⅰ）取BC1的中点为R，连接RERF，则RFCC1，AECC1，且AERF，3分则四边形AFRE为平行四边形，则AFRE，即AF平面REC1．6分（Ⅱ）延长C1E交CA延长线于点Q，连接QB，则QB即为平面BEC1与平面ABC的交线，且BCBQC1BBQ，则C1BC为平面BEC1和平面ABC所成的锐二面角的平面角．8分在BCC1中，cosC1BC
225

5．12分5
法二取B1C1中点为S，连接FS，以点F为坐标原点，FA为x轴，FB为y轴，FS为z轴建立空间直角坐标系，则A300B010F000C010，
A1304B1014C014E302，2分
（Ⅰ）则AF300，BE312BC1024，设平面BEC1的法向量为mx1y1z1，
f则mBE0mBC10，即
3x1y12z102y14z10
4分
令y12，则x10z11，即m021，所以AFm0，故直线AF平面BEC1．6分（Ⅱ）设平面ABC的法向量
001，则cos
m
m


5．12分5
2、如图在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上．（1）求证：BC⊥A1D；（2）求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值．
解：（1）因为A1O⊥平面BCD，BC平面BCD，∴BC⊥A1O，因为BC⊥CD，A1O∩CD＝O，∴BC⊥面A1CD．因为A1D面A1CD，∴BC⊥A1D．（6分）（2）连结BO，则∠A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角．因为A1D⊥BC，A1D⊥A1B，A1B∩BC＝B，∴A1D⊥面A1BC．A1C面A1BC，∴A1D⊥A1C．在Rt△DA1C中，A1D＝3，CD＝5，∴A1C＝4．1112根据S△A1CD＝A1DA1C＝A1OCD，得到A1O＝，22512A1O512在Rt△A1OB中，si
∠A1BO＝＝＝．A1B52512所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为．（12分）253、如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PAAB1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（Ⅰ）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系并说明理由；（Ⅱ）证明：无论点E在r