1解：原式limx0x0x01
例251．lim
fxx0例252．设fx有二阶连续导数，且f00，gxx。f00x0
证明：gx有一阶连续导数。解：当x0时，gx
xfxgxgx在x0处连续x2
ffhf0ghg0fhf0hh：g0limlimlimh0h0h0hhh2fhf0fhf0limlimh0h02h22
xfxfxfxfxfxfxf0limlim2h0x0h0x0x2x22f0所以limgxg0，故gx在0处连续。x02
因limgxlim综上所述gx有一阶连续导数。
3．函数单调性、凹凸性、极值、拐点及渐进性a、单调性如果fx0xI则fx在I上严格单调增加，fx0xI，则fx在I上严格单调减少。满足fx0的点称为驻点。b、极大值，极小值判别如果在xx0的附近，当xx0，fx单调增加，xx0，fx单调减少，则fx在xx0取得极大值，反之取极小值。判别II：如果fx在xx0邻域存在两阶导数，且fx00取极小值，fx00取极大值。极值点可能出现在驻点或导数不存在的点上。c、凹凸法xI，xI，如果fx0，则fx在I上向上凹；fx0，fx在I上存在，则fx在I上向上凸。d、拐点凹凸性发生改变的界点称为拐点。它可能出现在fx0的点或fx不存在的点。e、渐进线如果limfxA，则yA为yfx
x
如果limfx，则xa的水平渐近线；xa
f为yfx的垂直渐近线。有了以上的准备知识，分析函数的单调性，凹凸性，极值，拐点，的问题流程为（1）求定义域，渐近线；（2）计算yy；（3）求y0，y0的点和找出使yy不存在的点，设为x1x2x
；（4）列表分析；（5）结论。例353．分析函数yxe
x
的单调性，凹凸性，极值，拐点及渐近线。
解：（1）定义域为xR，
x渐近线：因limxelimxx
x1limx0xxee
y0，即x轴为水平渐近线
（2）y1xe
x
y1ex1x1exx2ex，由y0得x1，由y0得x2
（3）列表分析
x
yy
1
1
12
2
2

极大值

拐点
r