2013中考数学压轴题函数直角三角形问题精选解析二例3在平面直角坐标系xOy中，抛物线y
m125mxxm23m2与x轴的交点44
分别为原点O和点A，点B2
在这条抛物线上．（1）求点B的坐标；（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．
图1解析
m125mxxm23m2经过原点，所以44125．因此yxx．所以点B的坐m23m20．解得m12，m21（舍去）42
1因为抛物线y标为（2，4）．2①如图4，设OP的长为t，那么PE＝2t，EC＝2t，点C的坐标为3t2t．当点C落在抛物线上时，2t3t
2
14
522．3t．解得tOP2910．3
②如图1，当两条斜边PD与QM在同一条直线上时，点P、Q重合．此时3t＝10．解得t
如图2，当两条直角边PC与MN在同一条直线上，△PQN是等腰直角三角形，PQ＝PE．此时103t2t．解得t2．如图3，当两条直角边DC与QN在同一条直线上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝PD．此时103t4t．解得t
10．7
1
f图1
图2
图3
考点伸展在本题情境下，如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切，求t的值．如图5，当P、Q重合时，两圆内切，t
10．3
如图6，当两圆外切时，t30202．
图4
图5
图6
例4如图1，已知A、B是线段MN上的两点，MN4，MA1，MB1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设ABx．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面积？
2
f图1解析（1）在△ABC中，AC1，ABx，BC3x，所以
1x3x解得1x2．13r