，2代入，得λ＝－6，y2x2
故该双曲线方程为3－6＝1y2x2
答案：3－6＝1x2y2
8．双曲线a2－b2＝1a0，b0的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区
域不含边界，若点1，2在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围为________．解析：由题意当x＝1时，y＝bax＝ba2，所以e2＝ca22＝1＋ba25，
又e1，所以e∈1，5．
答案：1，5
9．双曲线
C
x2y2与椭圆8＋4＝1
有相同的焦点，直线
y＝
3x为C的一条渐近线，求双曲
线C的方程．
尚水作品
fx2y2解：由椭圆8＋4＝1，求得两焦点为－2，0，2，0，
x2y2由已知设双曲线方程为a2－b2＝1a＞0，b＞0．
则渐近线为y＝±bax
因为y＝3x为双曲线C的一条渐近线，所以ba＝3
又两曲线有相同焦点，对于双曲线C：c＝2，所以a2＋b2＝4解得a2＝1，b2＝3所以双曲线C的方程为x2－y32＝1
10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点M4，－
10．1求双曲线方程；2若点N3，m在双曲线上，求证：N→F1N→F2＝0；3对于2中的点N，求△F1NF2的面积．解：1因为e＝2，故可设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λλ≠0，
因为过点M4，－10，所以16－10＝λ，所以λ＝6x2y2
所以双曲线方程为6－6＝1
2证明：由1可知，在双曲线中，a＝b＝6，所以c＝23
所以F1－23，0，F223，0．所以N→F1＝－23－3，－m，N→F2＝23－3，－m．所以N→F1N→F2＝－23－323－3＋m2＝－3＋m2因为点N3，m在双曲线上，所以9－m2＝6，所以m2＝3所以N→F1N→F2＝0
3因为△F1NF2的底F1F2＝43，高h＝m＝3，所以△F1NF2的面积S＝6B能力提升
1．设F1、F2分别为双曲线xa22－yb22＝1a＞0，b＞0的左、右焦点，若在双曲线右支上存
在点P，满足PF2＝F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐
近线方程为
A．3x±4y＝0
B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0
D．5x±4y＝0
解析：选C设线段PF1的中点为M，由于PF2＝F1F2故F2M⊥PF1，即F2M＝2a，在
Rt△F1F2M中，F1M＝（2c）2－（2a）2＝2b，故PF1＝4b，根据双曲线的定义得4b－2c＝2a，所以2b－a＝c，即2b－a2＝a2＋b2，化简得3b2－4ab＝0，即3b＝4a，故双曲线的
渐近线方程是y＝±43x，即4x±3y＝0
2．已知F1，F2分别是双曲线xa22－yb22＝1a＞0，b＞0的左、右焦点，P是以F1F2为直径
的圆与该双曲线的一个交点，且∠PF1F2＝2∠PF2F1，则这个双曲线的离心率是
3＋2A2
B3＋2
尚水作品
fC3＋1
D
3＋12
解析：选C由题意得P在双曲线左支上，∠F1PF2＝90°，又因为∠PF1F2＝2∠PF2F1，r