,2代入,得λ=-6,y2x2
故该双曲线方程为3-6=1y2x2
答案:3-6=1x2y2
8.双曲线a2-b2=1a0,b0的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区
域不含边界,若点1,2在“上”区域内,则双曲线离心率的取值范围为________.解析:由题意当x=1时,y=bax=ba2,所以e2=ca22=1+ba25,
又e1,所以e∈1,5.
答案:1,5
9.双曲线
C
x2y2与椭圆8+4=1
有相同的焦点,直线
y=
3x为C的一条渐近线,求双曲
线C的方程.
尚水作品
fx2y2解:由椭圆8+4=1,求得两焦点为-2,0,2,0,
x2y2由已知设双曲线方程为a2-b2=1a>0,b>0.
则渐近线为y=±bax
因为y=3x为双曲线C的一条渐近线,所以ba=3
又两曲线有相同焦点,对于双曲线C:c=2,所以a2+b2=4解得a2=1,b2=3所以双曲线C的方程为x2-y32=1
10.已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为2,且过点M4,-
10.1求双曲线方程;2若点N3,m在双曲线上,求证:N→F1N→F2=0;3对于2中的点N,求△F1NF2的面积.解:1因为e=2,故可设等轴双曲线的方程为x2-y2=λλ≠0,
因为过点M4,-10,所以16-10=λ,所以λ=6x2y2
所以双曲线方程为6-6=1
2证明:由1可知,在双曲线中,a=b=6,所以c=23
所以F1-23,0,F223,0.所以N→F1=-23-3,-m,N→F2=23-3,-m.所以N→F1N→F2=-23-323-3+m2=-3+m2因为点N3,m在双曲线上,所以9-m2=6,所以m2=3所以N→F1N→F2=0
3因为△F1NF2的底F1F2=43,高h=m=3,所以△F1NF2的面积S=6B能力提升
1.设F1、F2分别为双曲线xa22-yb22=1a>0,b>0的左、右焦点,若在双曲线右支上存
在点P,满足PF2=F1F2,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐
近线方程为
A.3x±4y=0
B.3x±5y=0
C.4x±3y=0
D.5x±4y=0
解析:选C设线段PF1的中点为M,由于PF2=F1F2故F2M⊥PF1,即F2M=2a,在
Rt△F1F2M中,F1M=(2c)2-(2a)2=2b,故PF1=4b,根据双曲线的定义得4b-2c=2a,所以2b-a=c,即2b-a2=a2+b2,化简得3b2-4ab=0,即3b=4a,故双曲线的
渐近线方程是y=±43x,即4x±3y=0
2.已知F1,F2分别是双曲线xa22-yb22=1a>0,b>0的左、右焦点,P是以F1F2为直径
的圆与该双曲线的一个交点,且∠PF1F2=2∠PF2F1,则这个双曲线的离心率是
3+2A2
B3+2
尚水作品
fC3+1
D
3+12
解析:选C由题意得P在双曲线左支上,∠F1PF2=90°,又因为∠PF1F2=2∠PF2F1,r