2002级第二学期高等数学A期末试题参考答案
一、1．z
x

fyxx
yfyx
yx2

，
zy
fyxx
yfyx
1x
，
xzyzxyfyz
xy
x
2．交换积分次序
I
1
x2
dx
1x3dy
1x2
1x3dx22
21
0
0
0
9
3．定义域Dxyx0yR
令fxl
x1cosy0fy1xsi
y0
解得驻点e1k1kk012
A
fxx

1
x
B
fxy
si
yC

fyy
1
xcos
y
当k为偶数，即在（1，k（k为偶数）点，均有：A10ACB20
故fxy在点1kk为偶数）均取得极小值；
当k为奇数，即在（e2，kk为奇数）点，均有：Ae20ACB20
故fxy在点1kk为偶数）均不取得极值
所以fxy有无穷多个极小值点但没有极大值点
4．
ux

x2
x
y2

uy

x2
y
y2
u1z
2uy2x2x2x2y2
2ux2y2y2x2y2
2uz2

0
divgradu

divu
i

u
j

u
k


u

u

u
xyzxxyyzz
2u2u2uy2x2x2y2


00
x2y2z2x2y2x2y2
f5．u
0
12该级数为正项级数，
u
1

si



1
1
si




1
1






3
2
2


级数
收敛，由比值判别法原级数收敛3

12
2
二、1．由对称性I8x2y2dS1为球面在第一卦限部分1
8x2y2
R
dxdy
Dxy
Rx2y2
Dxyx2y2R2x0y0

82dR2
R
d8R4
0
0
R22
3
2
X3x34xyp4pxyp1
yy
Ykxqy24y4kqxq1y2xx曲线积分与路径无关，XY
yx
即4pxyp1kqxq1y2
解得q2p3k6
3．令tx1

原级数化为
1
t

1
l

lima
1lim

l

lim

1l


1

a


1l
1

1
l
11

1
所以收敛半径R1由1x11，解得0x2
所以原级数的收敛区间为（0，2），
f1

当x0时，级数
1发散lim
l
lim
1；

1
l


1

l



当x2时，级数
1
收敛莱布尼兹型级数

1
r