i12L
，
5
f将排列a
a1a2La
1记为R1A
；将排列a
1a
a1La
2记为R2A
；依此类推，直至
R
A
A
．
对于排列A
和RiA
i12L
1，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做A
和RiA
的相关值，记作tA
RiA
．例如A3110，则
R1A3011，tA3R1A31．
若tA
RiA
1i12L
1，则称A
为最佳排列．（Ⅰ）写出所有的最佳排列A3；（Ⅱ）证明：不存在最佳排列A5；（Ⅲ）若某个A2k1k是正整数为最佳排列，求排列A2k1中1的个数．20（本小题满分13分）（Ⅰ）解：最佳排列A3为110，101，100，011，010，001．
1
………………3分
（Ⅱ）证明：设A5a1a2a3a4a5，则RA5a5a1a2a3a4，因为tA5R1A51，所以a1a5，a2a1，a3a2，a4a3，a5a4之中有2个0，3个1．按a5→a1→a2→a3→a4→a5的顺序研究数码变化，由上述分析可知有2次数码不发生改变，有3次数码发生了改变．但是a5经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在A5，使得tA5R1A51，从而不存在最佳排列A5．（Ⅲ）解：由A2k1a1a2La2k1ai0或1i12L2k1，得………………7分
R1A2k1a2k1a1a2La2k，R2A2k1a2ka2k1a1a2La2k1，
……
R2k1A2k1a3a4La2k1a1a2，R2kA2k1a2a3La2k1a1．
因为tA2k1RiA2k11i12L2k，
6
f所以A2k1与每个RiA2k1有k个对应位置数码相同，有k1个对应位置数码不同，因此有a1a2k1a2a1La2ka2k1a2k1a2kk1，
a1a2ka2a2k1La2ka2k2a2k1a2k1k1，
……，
a1a3a2a4La2ka1a2k1a2k1，a1a2a2a3La2ka2k1a2k1a1k1．
以上各式求和得，Sk1×2k．………………10分
另一方面，S还可以这样求和：设a1a2a2ka2k1中有x个0，y个1，则
S2xy．………11分
所以
xy2k1xkxk1解得或所以排列A2k1中1的个数是k或2xy2kk1yk1yk
k1．…13分
（2012年海淀二模文科）15、（本小题满分13分）已知等差数列a
的前
项和为S
，公差d0，S54a36，且a1a3a9成等比数列（Ⅰ）求数列a
的通项公式；（Ⅱ）求数列r