上过P点的切线垂直
利用导数证明不等式例6．求证下列不等式
（1）xx2l
1xxx2
x0（相减）
2
21x
（2）si
x2xx0（相除）

2
（3）xsi
xta
xxx02
证：（1）fxl
1xxx2f00fx11xx210
2
1x
x1
∴yfx为0上∴x0fx0恒成立
∴l
1xxx2gxxx2l
1xg00
2
21x
gx
1
4x24x2x241x2
11x

2x241x2

0
∴gx在0上∴x0xx2l
1x0恒成立21x
2
f（2）原式si
x2令fxsi
xxx0cosx0
x
2
xta
x0
∴fxcosxxta
x∴x0fx00
x2
2
2
f22
∴si
x2x
（3）令fxta
x2xsi
xf00
f
x

sec2
x

2

cos
x

1
cos
xcoscos2
xx

si
2
x
x0fx0∴0
2
2
∴ta
xxxsi
x
（理做）设a≥0，fxx－1－l
2x＋2al
x（x0）
（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0＋∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x1时，恒有xl
2x－2al
x＋1
（Ⅰ）解：根据求导法则有fx12l
x2a，x0，xx
故Fxxfxx2l
x2a，x0，于是Fx12x2，x0，xx
列表如下：
x0，2
2
2，∞
Fx
0

极小值Fx
F2
故知Fx在0，2内是减函数，在2，∞内是增函数，所以，在x2处取得极小值
F222l
22a．（Ⅱ）证明：由a≥0知，Fx的极小值F222l
22a0．
于是由上表知，对一切x0，∞，恒有Fxxfx0．从而当x0时，恒有fx0，故fx在0，∞内单调增加．
所以当x1时，fxf10，即x1l
2x2al
x0．利用单调性证明不等式）
故当x1时，恒有xl
2x2al
x1．
（全国卷22）（本小题满分14分）已知函数fxl
1xxgxxl
xi求函数fx的最大值；ii设0ab证明0gagb2gabbal
2
2
．I解：函数fx的定义域是1∞fx11，令fx0，解得x0，1x
当1x0时fx0当x0时fx0，又f00，故当且仅当x0时，fx取得
最大值，最大值是0
3
fII证法一：
gagb2gabal
abl
babl
abal
2abl
2b
2
2r