导数定义
例1．y

fx
x2
x1在x1处可导，则a
b
axbx1
思路：y

x2fx
x1
axbx1
在x1处可导，必连续limfx1x1
limfxabf11∴ab1
x1
ylim2x0x
ylimax0x
∴a2b1
例2．已知fx在xa处可导，且f′ab，求下列极限：
（1）limfa3hfah；（2）limfah2fa
h0
2h
h0
h
分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须
选择相对应的形式。利用函数fx在xa处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变
形转化为导数定义的结构形式。
解：（1）limfa3hfahlimfa3hfafafah
h0
2h
h0
2h
fa3hfa
fafah
lim
lim
h0
2h
h0
2h
3limfa3hfa1limfahfa
2h0
3h
2h0
h
3fa1fa2b
2
2
（2）limh0
fah2h
fa


lim
h0

fah2h2
f
a
h

limh0
fah2h2
falimhh0
fa00
例3．观察x
x
1，si
xcosx，cosxsi
x，是否可判断，可导的
奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
解：若fx为偶函数
fxfx
令limfxxfxfx
x0
x
fxlimfxxfxlimfxxfx
x0
x
x0
x
limfxxfxfx
x0

∴可导的偶函数的导函数是奇函数
另证：ffxfxxfx
1
f已知函数fx在定义域R上可导，设点P是函数yfx的图象上距离原点O最近的点
1若点P的坐标为afa求证：afafa0
2若函数yfx的图象不通过坐标原点O证明直线OP与函数yfx的图象上
点P处切线垂直
证：1设Qxfx为yfx上的动点，则OQ2x2f2x，设Fxx2f2x
则Fx2x2fxfx
已知P为yfx图形上距离原点O最近的一点，∴OP2为Fx的最小值，即Fx在xa处有最小值亦即Fx在xa处有极小值
∴Fa0，
即2a2fafa0
2线段OP的斜率为fa，yfx之图形上过P点的切线l的斜率为faa
由1知fafaa，
∴图象不过原点，∴a0，∴fafa1a
∴OP⊥l，即直线OP与yfx的图形r