机械工程测试技术基础习题解答
教材：机械工程测试技术基础，熊诗波黄长艺主编，机械工业出版社，2006年9月第3版第二次印刷。
第一章信号的分类与描述
11求周期方波（见图14）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出c
ω和φ
ω图，并与表11对比。
xt
A
…
T0
2
T0
…
2
T0
0
t
T0
A
图14周期方波信号波形图解答：在一个周期的表达式为
xt



A

A
T0t02
0tT02
积分区间取（T2，T2）
c


1T0
T0
2T0
2
xte
j
0tdt
1T0
0T0
2
Ae
j
0tdt
1T0
T0
2Aej
0tdt
0
jAcos
1

0123
所以复指数函数形式的傅里叶级数为

xt
c
ej
0t


jA11cos
ej
0t

，
0
1
2
3
。
c
I

A

1cos

c
R0

0123
2A
c

c
R2c
I2

A

1cos




0

13
0246
1
f
π2
φ

arcta
c
Ic
R

π

2
0


135
135
0246
没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
c
2Aπ2Aπ
2A3π2A5π5ω03ω0ω0
2A3π2A5πω03ω05ω0ω
φ
π2ω03ω0
5ω03ω0ω0π2
幅频图
周期方波复指数函数形式频谱图
相频图
5ω0ω
12求正弦信号xtx0si
ωt的绝对均值μx和均方根值xrms。
解答：μx

1T
Txtdt1
0
T
T0
x0si
ωtdt

2x0T
T
2si
ωtdt


2x0
cosωt
T2

4x0

2x0
0
Tω
0Tωπ
xrms
1Tx2tdtT0
1T
T0
x02
si
2
ωtdt

x02
T1cos2ωtdt

x0
T0
2
2
13求指数函数xtAeata0t0的频谱。
解答：
Xf
xtej2ftdt

Aeatej2ftdt
0
eaj2ftA
aj2f
0
a
Aj2
f

Aaj2a22f
f2
kXf
a22f2
farcta
ImXfarcta
2f
ReXf
a
2
fXfAa
φfπ2
0
f
0
f
π2
单边指数衰减信号频谱图
14求符号函数见图125a和单位阶跃函数见图125b的频谱。
sg
t
ut
1
1
0
t
1
0
t
a符号函数
b阶跃函数
a符号函数的频谱
图125题14图
xt


sg
t


11
t0t0
t0处可不予定义，或规定sg
00。该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1t的频谱，然后取极限得出符号函数xt的频谱。
x1t

eat
sg
t

eateat
t0t0
xt


sg
t

lim
a0
x1t

X1f

x1te
j2
f
tdt

0eatej2ftdt

eeatj2
0
f
tdt


j
a2
4f2
f
2
X

f


F
sg
t

lim
a0
X1
f



j
1f
Xf1f
3
ff22
f0f0
x1t1
Xf
φf
0
t
1
π2
0
f
0
f
π2
x1teatsg
t符号函数
符号函数频谱
b阶跃函数频谱
1t0ut0t0
在r