第18练
解三角形问题
题型分析高考展望正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一．命题的重点主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题；三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命题的重点和热点．
体验高考
1．2016天津改编在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC等于________．答案1解析由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4舍去．π12．2016课标全国丙改编在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA等于________．43答案－1010
π12解析设BC边上的高线AD交BC于点D，由题意B＝，BD＝BC，DC＝BC，ta
∠BAD433＝1，ta
∠CAD＝2，ta
A＝1＋210＝－3，所以cosA＝－101－1×2
3．2015天津在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为1315，b－c＝2，cosA＝－，则a的值为________．4答案8115解析∵cosA＝－，0＜A＜π，∴si
A＝441115S△ABC＝bcsi
A＝bc×＝315，∴bc＝24224又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA1＝52－2×24×－4＝64，∴a＝81π4．2015广东设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a＝3，si
B＝，C＝，26则b＝________答案1
f1π5πππ解析因为si
B＝且B∈0，π，所以B＝或B＝又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝266662πab又a＝3，由正弦定理得＝，即3si
Asi
B3b＝，解得b＝12ππsi
si
36
5．2016北京在△ABC中，a2＋c2＝b2＋2ac1求∠B的大小；2求2cosA＋cosC的最大值．解1由a2＋c2＝b2＋2ac得a2＋c2－b2＝2aca2＋c2－b22ac2由余弦定理得cosB＝＝＝2ac2ac2π又0＜B＜π，所以B＝4π3π2A＋C＝π－B＝π－＝，443π3π所以C＝－A0＜A＜443π所以2cosA＋cosC＝2cosA＋cos4－A3π3π＝2cosA＋coscosA＋si
si
A44＝2cosA－＝22cosA＋si
A22
π22si
A＋cosA＝si
A＋422
3πππ因为0＜A＜，所以＜A＋＜π，444πππ故当A＋＝，即A＝时，2cosA＋cosC取得最大值1424
高考必会题型
题型一活用正弦、余弦定理求解三角形问题例112015广东改编设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a＝2，c＝23，3且bc，则b等于________．2
cosA＝
答案2解析由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋12－2×b×23×r