22
1
22222
1110552条，因而必有G
与假设矛盾。所以G连通。3、（14分）（1）当
11时，GGK11K11边数
m
或G的边数大于等于28，不妨设G的边数m28，设G有k个连通分支，则G中必
f有回路。（否则G为k棵树构成的森林，每棵树的顶点数为
i，边数mi，则
mi
i1i1k
kk

i1
k
i

11mim
i1
k
28mmi
i1
k11k
i1i1
矛盾）
下面用反证法证明G为非平面图。假设G为平面图，由于G中有回路且G为简单图，因而回路长大于等于3。于是G的每个面至少由gg3条边围成，由点、边、面数的关系
m
g
k1g2，得：
28m
g311k111k1311113113227g231
而2827矛盾，所以G为非平面图。（2）当
11时，考虑G的具有11个顶点的子图G，则G或G必为非平面图。如果G为非平面图，则G为非平面图。如果G为非平面图，则G为非平面图。4、（15分）1）0，1，，是环①0，1，是交换群乘：由“”运算表知其封闭性。由于运算表的对称性知：运算可交换。群：（00）00（00）0；（00）10（01）1；（01）00（10）1；（01）10（11）0；（11）11（11）0结合律成立。幺：幺元为0。逆：0，1逆元均为其本身。所以，0，1，是Abel群。②0，1，是半群乘：由“”运算表知封闭群：0000（00）0；（00）10（01）1；（01）00（10）1；（01）10（11）0；（11）11（11）0；…③对的分配律对xy01Ⅰ0（xy）0000x0yⅡ1（xy）……



f当xy
xy0
则
0010101xy1001x1y111111
当xy（xy1）则
1011101xy1111x1y011011
所以xyz01均有zxyzxzy同理可证：xyzxzyz所以对是可分配的。由①②③得，0，1，，是环。（2）0，1，，是域因为0，1，，是有限环，故只需证明是整环即可。①乘交环：由乘法运算表的对称性知，乘法可交换。②含幺环：乘法的幺元是1③无零因子：111≠0因此0，1，，是整r