析本题主要考查椭圆和向量等知识．由题易知F－10，设Px，y，其－2≤x≤2，则→→OP＝x，yFPx＋1，y＝xx＋1＋y2311＝x2＋x＋3－x2＝x2＋x＋3＝x＋22＋2444→→当x＝2时，OPmax＝6FP8．椭圆的一个顶点与两个焦点组成等边三角形，则它的离心率e为1A21C4答案Ac1解析由题意知a＝2c，所以e＝＝a2x2y219．设椭圆2＋2＝1ab0的离心率为e＝，右焦点为Fc0，方程ax2＋bx－c＝0的ab2两个实根分别为x1和x2，则点Px1，x2的位置A．必在圆x＋y＝2内B．必在圆x2＋y2＝2上C．必在圆x2＋y2＝2外D．以上三种情形都有可能答案A1c1解析由e＝知＝，a＝2c由a2＝b2＋c2得b＝3c，代入ax2＋bx－c＝0，得2cx22a2＋3cx－c＝0，即2x2＋3x－1＝0，则x1＋x2＝－31，x1x2＝－，x2＋x2＝x1＋x22－2x1x22212
22

B．3D．8

1B3D22

f7＝2410．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是AC3322BD2332
答案A解析如图，△ABF2为正三角形，
∴AF2＝2AF1，AF2＋AF1＝2a，3AF1＝F1F22∴AF1＝a，又F1F2＝2c，32a31∴＝2c3c3∴＝故选Aa3二、填空题x2y211．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆2＋2＝1ab0的焦距为2c，以点O为圆心，aba2a为半径的圆过点Pc，0过P作圆的两切线又互相垂直，则离心率e＝________答案22
解析如图，切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角a2c2三角形，故＝2a，解得e＝＝ca2
fx2y212．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标54原点，则△OAB的面积为__________．答案53
54解析易知直线AB的方程为y＝2x－1，与椭圆方程联立解得A0，－2，B3，3，1145故S△ABC＝S△AOF＋S△BOF＝×1×2＋×1×＝2233x2y213．已知F1，2为椭圆＋＝1的两个焦点，F1的直线交椭圆于A、两点，F过B若F2A259＋F2B＝12，则AB＝________答案8解析由椭圆的第一定义得AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a，两式相加，得AB＋
BF2＋AF2＝4a＝20AB＝20－12＝8314．在△ABC中，∠A＝90°，ta
B＝若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的4离心率e＝________答案12
解析设AC＝3x，AB＝4x，又∵∠A＝90°，∴BC＝5x，
由椭圆定义：AC＋BC＝2a＝8x，那么2c＝AB＝4x，c4x1∴e＝＝＝a8x2三、解答题15．已知点P在以坐标轴为对称轴，长轴在x轴的椭圆r