2017年全国高中数学联合竞赛一试模拟试题
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分
1．已知Axx2－4x30，x∈R，Bx21－xa≤0，x2－2a7x5≤0，
x∈R
若AB，则实数a的取值范围是
．
2．已知椭圆
x216

y24
1的左右焦点分别为
F1
与
F2
，点
P
在直线
l：
x
3y82
30上
当F1PF2取最大值时，比
PF1PF2
的值为
3．设fxsi
4xsi
xcosxcos4x，则fx的值域是
。
4．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为________
5．函数yxx23x2的值域为____________6．已知正整数
不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之
和，那么，这样的
的个数是___________
7．用x表示不大于实数x的最大整数，方程lg2x－lgx－20的实
根个数是
．
8．各项均为实数的等比数列a
前
项之和记为S
若S1010S3070则S40等于__________
二、解答题：本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤
9．（本题满分16分）如图，有一列曲线P0P1P2……，已知P0所围
f成的图形是面积为1的等边三角形，Pk1是对Pk进行如下操作得到的：将Pk
的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将
中间部分的线段去掉k0123…，记S
为曲线Pk所围成图形面积。
①求数列S
的通项公式；②求
lim

S


。
P0
P1
P2
10．（本题满分20分）如题10图，P是抛物线y22x上的动点，点BC
在y轴上，圆x12y21内切于PBC，求PBC面积的最小值．
解设Px0y0B0bC0c，不妨设bc．直线PB的方程yby0bx，
x0
化简得y0bxx0yx0b0．又圆心10到PB的距离为1，
y0bx0b1，
y0b2x02
…5分
故y0b2x02y0b22x0by0bx02b2，
f易知x02，上式化简得x02b22y0bx00，
同理有x02c22y0cx00．
…10分
所以bc2y0，bcx0，则bc24x024y028x0．
x02
x02
x022
因Px0y0是抛物线上的点，有y022x0，则
bc2

4x02x022
，bc

2x0x02
．
…15分
所以SPBC

12
b

c

x0

x0x0
2

x0

x0
2
4x02
4

2
448．
当x0224时，上式取等号，此时x04y022．
因此SPBC的最小值为8．
…20分
11．（本题满分20分）设fxx2a记f1xfx，
f
xff
1x，
23，MaR对所有正整数
，f
02
证明：M2
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f一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分
1、【解】A1，3；
又，a≤－21－x∈－1，－14，当x∈1，3时，a≥x22x5－7∈5－7，
－4．
∴－4≤a≤－r