b与a垂直∴ab）a0即aba0（
rrr2r2∴abaa1rrab12∴cosθrr22ab
Qθ∈0o，o∴θ180
rrπ∴a与b的夹角为4
π
4
【名师指引】注意公式2ab（a3b（））
rr
r
r
r2rrr2rr2a5ab3b，当知道ab的模及它们的夹角可求
rruuurrrruuurrrr（x1ax2b）x3ax4b）（的数量积，反之知道x1ax2b（x3ax4b的数量积及ab的模则（））
可求它们的夹角。题型2。利用数量积解决垂直问题
例3若非零向量α、β满足α解题思路：只须证明α解题思路解析：解析：证明由α
ur
ur
uuruurrrururβαβ，证明α⊥β
uurrβ0。
uuruurrruur2uur2rruurruurrβαβ得αβαβ∴αβ2αβ2urur
展开得αβ0故α⊥β
uurr
例4在△ABC中，AB23，AC1
k，且△ABC的一个内角为直角，
求k值解题思路解题思路：注意分情况计论
新疆王新敞
奎屯
解析：解析：当A90°时，ABAC0，∴2×13×k0∴k
32
当B90°时，ABBC0，BCACAB12k31k3∴2×13×k30∴k
113
∴k
当C90°时，ACBC0，∴1kk30
→→→→
3±132
【名师指引】a⊥bab0是一个常用的结论。
【新题导练】1．广东省普宁市城东中学2009届高三上学期第三次月考）（
4
f已知向量a11，b2
，若abab，则
（A．3B．1
2
）
C．1
D．3
答案：D解析：91
2
解得
32．执信中学20082009学年度高三数学试卷知
a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量
m3，1，
cosA，A．m⊥
，acosBbcosAcsi
C，si
若且则角A，B
的大小分别为（
πA．π，63
）
πB．2π，36πC．π，36πD．π，33
答案：C解析：由m⊥
可得m
0即3cosAsi
A0所以角A且acosBbcosAcsi
C及B考点2利用数量积处理夹角的范围题型1：求夹角范围
例5已知a
π
，
2ππC可得B36
3
r
rrrrrr2b≠0且关于x的方程x2axab0有实根则a与b的夹角的取值
Bπ
范围是

π
A0

π
6
3
C
π2π
33

Dπ
π
6
解题思路：要求两向量夹角θ的取值范围可先求cosθ的取值范围解题思路解析：解析：由关于x的方程x
2
rrraxab0有实根，得a24ab≥0
rrrr1r2rrab∴ab≤a设向量ab的夹角为θ，则cor