第3讲平面向量的数量积
★知识梳理★1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则_∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角
特别提醒：向量a与向量b要同起点。特别提醒：
v
r
v
r
v
r
v
r
v
r
v
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量abcosθ__叫a与b的数量积，记作ab，即有ababcosθ
特别提醒：特别提醒：
v
r
v
r
vr
vr
r
v
（1）（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0（2）两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量12
新疆王新敞
奎屯
v
r
v
r
新疆王新敞奎屯
vvvvveaaeacosθ；vrvra⊥bab0v
3当a与b同向时，abab；当a与b反向时，abab特别的aaa或a
2
r
vr
v
r
v
r
vr
v
r
新疆王新敞奎屯
vv
v
r
rvaa
rrab4cosθrv；ab
5ab≤ab3．“投影”的概念：如图
vr
v
r
定义：_____bcosθ_______叫做向量b在a方向上的投影
特别提醒：特别提醒：
新疆王新敞奎屯
投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ0°时投影为b；当θ180°时投影为b
新疆王新敞奎屯
4．平面向量数量积的运算律交换律：abba
v
r
r
v
1
f数乘结合律：λabλabaλb分配律：abcacbc5．平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量ax1y1，bx2y2，设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，那么ax1iy1j，bx2iy2j所以abx1x2y1y26平面内两点间的距离公式如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为x1y1、x2y2，那么：a
v
r
vr
v
r
v
r
r
vr
rr
r
r
r
r
r
v
v
r
r
r
rv
v
r
x1x22y1y22
7向量垂直的判定：设ax1y1，bx2y2，则a⊥b
r
r
r
v
x1x2y1y20
rrab8两向量夹角的余弦（0≤θ≤π）cosθrab
x1x2y1y2x1y1
22
x2y2
2
2
★重难点突破★
1重点：1重点：掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解重点决有关问题；2难点难点：2难点：掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题3重难点：重难点：重难点
新疆王新敞
奎屯
向量数r