x3上，求此时抛物线的解析式
解：（Ⅰ）当b2，c3时，抛物线的解析式为yx22x3，即yx124
∴抛物线顶点E的坐标为（1，4）．
．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点E在对称轴x1上，有b2，
y∴抛物线的解析式为yx22xc（c0）．
∴此时，抛物线与y轴的交点为C0，c，顶点为E1，1c．
E
C
∵方程x22xc0的两个根为x111c，x211c，
AODB∴此时，抛物线与x轴的交点为A11c，0，B11c，0．
F
x
如图，过点E作EF∥CB与x轴交于点F，连接CF，则S△BCES△BCF．
x1
∵S△BCES△ABC，
∴S△BCFS△ABC．
∴BFAB21c．
设对称轴x1与x轴交于点D，
则DF1ABBF31c．2
由EF∥CB，得EFDCBO．
∴Rt△EDF∽Rt△COB．有EDCO．DFOB
∴1cc．结合题意，解得c5．
31c11c
4
∴点C0，5，B5，0．
4
2
设直线BC的解析式为ymx
，则
f54



0

52
m



解得
m


12




54

∴直线BC的解析式为y1x524
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为Eh，k，（h0，k0）则抛物线的解析式为yxh2k，
此时，抛物线与y轴的交点为C0，h2k，
与x轴的交点为Ahk，0，Bhk，0（kh0）
过点E作EF∥CB与x轴交于点F，连接CF，则S△BCES△BCF由S△BCE2S△AOC，
∴S△BCF2S△AOC得BF2AO2kh设该抛物线的对称轴与x轴交于点D
则DF1ABBF3k2h2
于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有EDCO．DFOB
∴
kh2k，即2h25kh2k0．
3k2hhk
结合题意，解得h1k．
①
2
∵点Eh，k在直线y4x3上，有k4h3．②
∴由①②，结合题意，解得k1．
有k1，h1．2
∴抛物线的解析式为yx2x3．4
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
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