2012年全国高中数学联合竞赛一试
一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
1、设P是函数yx2（x0）的图像上任意一点，过点P分别向直线yx和y轴作垂线，x
垂足分别为AB，则PAPB的值是
2、设ABC的内角ABC的对边分别为abc，且满足acosBbcosA3c，则ta
A的取值
5
ta
B
为
3、设xyz01，则Mxyyzzx的最大值为
4、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y24x的焦点为F，准线为l，AB是抛物线上的两个动
点，且满足AFB，设线段AB的中点M在准线l上的投影为N，则MN的最大值
3
AB
为
5、设同底的两个正三棱锥PABC和QABC内接于同一个球若正三棱锥PABC的侧面与底面所成角为450，则正三棱锥QABC的侧面与底面所成角的正切值为
6、设函数fx是定义在R上的奇函数，且当x0时，fxx3若对任意的xaa2，不等式fxa2fx恒成立，则实数a的取值范围是
7、满足1si
1的所有正整数
的和为4
3
8、某情报站有ABCD四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。设第1周使用A密码，那么第7周也使用A密码的概率
为
2012年全国高中数学联合竞赛试题第1页共4页
f二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9、（本题满分16分）
已知函数fxasi
x1cos2xa31，aRa0
2
a2
⑴若对任意xR都有fx0，求实数a的取值范围；
⑵若a2，且存在xR使得fx0，求实数a的取值范围；
10、（本题满分20分）已知数列a
的各项均为非零实数，且对于任意的正整数
，都有
a1
a2
a
2

a13
a23

a
3

⑴当
3时，求所有满足条件的三项组成的数列a1a2a3；
⑵是否存在满足条件的无穷数列a
，使得a20132012？若存在，求出这样的无穷数列的一个
通项公式；若不存在，说明理由。
11、（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的边长为4，且OBOD6⑴求证：OAOC为定值；⑵当点A在半圆x22y24（2x4）上运动时，求点C的轨迹。
2012年全国高中数学联合竞赛试题第2页共4页
f2012年全国高中数学联合竞赛二试
一、（本题满分40分）如图所示，在锐角ABC中，ABAC，MN是BC边上不同的两点，使得BAr