写为a
＝q当q＞0且q≠1时，这是
a1q


等比数列的判断与证明
1例1已知数列a
是首项为2，公差为－1的等差数列，令b
＝a
，求证数2
列b
是等比数列，并求其通项公式．解依题意a
＝2＋
－1×－1＝3－
，
13－
于是b
＝2
f13－
b
21－1而＝＝＝2b
－114－
22
∴数列b
是公比为2的等比数列，通项公式为b
＝2类题通法证明数列是等比数列常用的方法1定义法：数列．2等比中项法：a
＋1＝a
a
＋2a
≠0，
∈Na
为等比数列．3通项公式法：a
＝a1q活学活用1．已知数列a
的前
项和S
＝2－a
，求证：数列a
是等比数列．证明：∵S
＝2－a
，∴S
＋1＝2－a
＋1∴a
＋1＝S
＋1－S
＝2－a
＋1－2－a
＝a
－a
＋11∴a
＋1＝a
2又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠01又由a
＋1＝a
知a
≠0，2∴
－1
2

－3

a
＋1a
＝qq为常数且q≠0或＝qq为常数且q≠0，
≥2a
为等比a
a
－1
其中a1，q为非零常数，
∈Na
为等比数列．

a
＋11＝a
2
∴a
是等比数列等比数列的通项公式例2在等比数列a
中，1a4＝2，a7＝8，求a
；2a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，a
＝1，求
解1因为
a4＝a1q，a7＝a1q，
63
所以
a1q＝2，a1q＝8，
6
3
①②
由
②333得q＝4，从而q＝4，而a1q＝2，①
212
－5
－1于是a1＝3＝，所以a
＝a1q＝2q23
fa2＋a5＝a1q＋a1q＝18，③2法一：因为25a3＋a6＝a1q＋a1q＝9，④
4
由
④1得q＝，从而a1＝32③2
1
－1又a
＝1，所以32×＝1，2
即2
6－

＝2，所以
＝6
0
1法二：因为a3＋a6＝qa2＋a5，所以q＝2由a1q＋a1q＝18，得a1＝32由a
＝a1q
－1
4
＝1，得
＝6
类题通法与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式，a
＝a1q
－1
a1q≠0中包含了四个量，
已知其中的三个量，可以求得另一个量．求解时，要注意应用q≠0验证求得的结果．活学活用2．1若等比数列的前三项分别为5，－1545，则第5项是A．405C．135B．－405D．－135
2

22012辽宁高考已知等比数列a
为递增数列，且a5＝a102a
＋a
＋2＝5a
＋1，则数列a
的通项公式a
＝________解析：1选A∵a5＝a1q，而a1＝5，q＝＝－3，∴a5＝4052根据条件求出首项a1和公比q，再求通项公式．由2a
＋a
＋2＝5a
＋12q－5q＋2129＝0q＝2或，由a5＝a10＝a1q0a10，又数列a
递r