递推数列求通项公式的常见类型及方法
递推数列求通项即依据给出数列中相邻两项或几项的关系式，a
与S
的关系式等，求出通项公式，是数列中的重要内容，是高考中常见的题目．本文给出常见的类型和方法．1
a
1a
f
方法：叠加法令

12L
1，得a2a1f1a3a2f2
L
a
a
1f
1
以上
1个式子相加，得a
例１．数列解令

a1∑fi
i1

1
a
中，a11a
a
1
23L
得1a2a12221a3a2233La
a
1
2
1
≥2，求数列a
的通项

2
2
1
111∴a
a122L22233
111a1L1×22×3
1
1111111L223
1
12
a
1a
f
方法累积法令

12L
1得a2a1f1a3a2f2La
a
1f
1
以上
1个式子求积，得a
例2数列
a1∏fi
i1

1
a
中，a12a
1
1a
1
≥2，求数列a
的通项
2
1
f解由题a

1
3
a
1
1×3a1222×4a32a21×32×4
1
1∴a
a122L323
2L
1
1a
a
1
21
1a12
1
pa
qp≠1q≠0a2
a
1λpa
λ
1
1
1a
1a
1令
12L
1得2
2
方法一配凑法方法二待定系数法
λpa
λ比较已知得qλpλqλ1pλ是方程xpxq的根xpxq是特征方程a
1a
q
1得
1
1转化为类型1方程三两根同除以pppp
令a
1例307全国数列解法一
a
中，a12a

21a
2
123L，求数列a
的通项
Qa
121a
2
∴a
1221a
2∴数列a
2是以a1222为首项，21为公比的等比数列


∴a
22221
12×21
故
a
2×21
2λ21a
λ
解法二令a
1
∴λ21λ221
解得λ2下同解法一解法三a
1
21a
221a
221a
1a
2
1两边同除以21得21
121
21
a
令b
21
a
21
b
221
令
12L
1得
则b
1
2
fb2b12211b3b22212Lb
b
1221
1
∴b
b122112212L221
1
2212
21121
1121
221
2
∴a
21
b
22×21
4
a
1pa
q
p≠1q≠0
方法一：两边同除以方法二：待定系数法令a
1例4．数列
p
1，得
a
1aq

1p
1pp
转化为类型一
λq
pa
λq
1比较已知得λ
a
中，a11a
1
1
qqp3a
2
≥1，求数列a
的通项

解法一：r