立，求得t即可求直线OP的斜率的取值范围试题解析：I由已知有
62x22，求出x的范围，3x12
c21，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2，a23
设直线FM的斜率为kk0，则直线FM的方程为ykxc，由已知有
kccb32，解得k3k122
II由I得椭圆方程为整理得
2
2
2
x2y2直线FM的方程为ykxc，两个方程联立，消去y，1，3c22c2
53x22cx5c20，解得xc或xc，因为点M在第一象限，可得M的坐标为3
232343，解得c1，所以椭圆方程为c，由FMcc2c0c333
2
x2y2132
III设点P的坐标为xy，直线FP的斜率为t，得t
y，即ytx1x1x1
ytx1与椭圆方程联立x2y2，消去y，整理得2x23t2x126，又由已知，得123
62x2t2，解得3x12
3x1或1x0，2
设直线OP的斜率为m，得m
y，即ymxx0，与椭圆方程联立，整理可得x
m2
22x23
①当x1时，有ytx10，因此m0，于是m
32

22，得x23
f223m33
②当x10时，有ytx10，因此m0，于是m
22，得x23
23m3
综上，直线OP的斜率的取值范围是

233
22333
考点：1椭圆的标准方程和几何性质；2直线和圆的位置关系；3一元二次不等式20（本小题满分14分）已知函数fx
xx
xR，其中
N
2
I讨论fx的单调性；II设曲线yfx与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为ygx求证：对于任意的正实数x，都有fxgx；III若关于x的方程fxaa为实数有两个正实根x1，x2，求证：x2x1
a21

【答案】I当
为奇数时，fx在1，1上单调递减，在11内单调递增；当
为偶数时，fx在1上单调递增，fx在1上单调递减II见解析；III见解析

试题解析：I由fx
xx，可得，其中
N且
2，
下面分两种情况讨论：
f（1）当
为奇数时：令fx0，解得x1或x1，当x变化时，fxfx的变r