的取值范围进行讨论．aax2a1xaa0．1当aa≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，因式分解后为当c0时，x1x20；axa1a1xa0，
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当ac＞0即a，c同号时，方程无实数根．例8解关于x的方程：
2当aa0时，原方程为一元一次方程，当a0时，x0；当a1时，x2．例10求k的值，使得两个一元二次方程
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m1x2m1xm30．
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fxkx10，xxk20有相同的根，并求两个方程的根．4，7．所以k2，3使得x1，x2同时为正整数，但当k3时，x1x23，解不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有aka10，①aak20．②解不妨设方程的根α≥β，由求根公式得①②有ka1ak20，即k1a10，所以k1，或a1．1当k1时，两个方程都变为xx10，所以两个方程有两个相同的根
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与题目不符，所以，只有k2为所求．例12关于x的一元二次方程x5xm1有实根a和β，且｜α｜｜β｜≤6，确定m的取值范围．
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｜α｜｜β｜αβ5＜6，符合要求，所以m≤1．
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没有相异的根；2当a1时，代入①或②都有k0，此时两个方程变为x10，xx20．解这两个方程，x10的根为x11，x21；xx20的根为x11，x22．x1为两个方程的相同的根．例11若k为正整数，且关于x的方程k1x63k1x720有两个不相等的正整数根，求k的值．解原方程变形、因式分解为k1k1x63k1x720，k1x12k1x60，两式相加得即
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例13设a，b，c为△ABC的三边，且二次三项式x2axb与x2cxb有一次公因式，证明：△ABC一定是直角三角形．
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证因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，所以二次方程x2axb0与x2cxb0必有公共根，设公共根为x0，则
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f若x00，代入①式得b0，这与b为△ABC的边不符，所以公共根x0a＋c．把x0a＋c代入①式得
2．解下列关于x的方程：1abxabxab0；22x3x2a1xbab1x．
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ac2aacbg20，整理得abc所以△ABC为直角三角形．例14有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形或正三角形，摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球，求球的个数．解设小球摆成正三角形时，每边有x个球，则摆成正方形时每边有x2个球．此时正三角形共有球3．若对任何实数a，关于x的方程x2axa2b0都有实数根，求实数b的取值范围．
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此时正方形共有x2个球，所以
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4．若方程xaxb0和xbxa0有一个公共根，求ab000即x9x80，x11，x28．因为x2≥1，所r