初中数学竞赛专题培训
一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法．方程axbxc0a≠0称为一元二次方程．一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法．
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第九讲一元二次方程
xpqxpqpqpq0．解用十字相乘法分解因式得xppqxqpq0，所以x1ppq，x2qpq．例3已知方程2000x2001×1999x10的较大根为a，方
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对于方程axbxc0a≠0，△b4ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即
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程x1998x19990的较小根为β，求αβ的值．解由方程2000x2001×1999x10得2000x1x10，
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当△0时，方程有两个相等的实数根，即
x1999x10，故x11999，x21，所以β1999．所以αβ119992000．例4解方程：3x1x14x1x1．分析本题容易犯的错误是约去方程两边的x1，将方程变为3x14x1，所以x2，这样就丢掉了x1这个根．故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．本题正确的解法如下．解3x1x14x1x10，x13x14x10，x1x20，所以x11，x22．例5解方程：x3｜x｜40．分析本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义．
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当△＜0时，方程无实数根．
分析可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解．
因为
所以
例2解关于x的方程：
f解法1显然x≠0．当x＞0时，x3x40，所以x14，x21舍去．当x＜0时，x3x40，所以x34，x41舍去．所以原方程的根为x14，x24．
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分析讨论m，由于二次项系数含有m，所以首先要分m10与m1≠0两种情况不能认为方程一定是一元二次方程；当m1≠0时，再分△＞0，△0，△＜0三种情况讨论．解分类讨论．
解法2由于x｜x｜，所以1当m1时，原方程变为一元一次方程｜x｜3｜x｜40，x20，所以｜x｜4｜x｜10，所以x2．所以｜x｜4，｜x｜1舍去．2当m≠1时，原方程为一元二次方程．所以x14，x24．△2m14m1m312m11．例6已知二次方程3x2a5x3a10有一个根为2，求另一个根，并确定a的值．解由方程根的定义知，当x2时方程成立，所以3×22a5×23a10，故a3．原方程为3xx100，即x23x50，
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例9解关于x的方程：axx1ax1a1x．例7解关于x的方程：axc0a≠0．解整理方程得分析含有字母系数的方程，一般需要对字母r